数列中的结构不良问题-【三轮冲刺】2023年高考数学热点专题模型通关（数列篇）

数列中的结构不良问题 思路引导 1.“结构不良问题”是2020年高考出现的新题型：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分． 2.一般先选择条件，再根据正余弦定理化简求值、计算．可以从两方面思考： ①从题目给出的条件，边角关系来选择； ②从式子结构来选择． 母题呈现 【典例】（2022·山东师范大学附中模拟预测）在①，，成等差数列，且；②，且；③（为常数）从这三个条件中任选一个补充在横线处，并给出解答. 问题：已知数列的前项和为，，___________，其中. （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【解题指导】（1）若选①：等差数列定义列方程→得→求的值→得的通项公式 若选②：递推关系式→是等比数列→的通项公式 若选③：→→相减得是等比数列→的通项公式 （2）求的通项→的通项→错位相减求. 【解析】（1）若选条件①：因为，，成等差数列， 所以，即，所以， 又，，所以，即， 所以，即，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以； 【规范答题】要明确数列的首项及公比 若选条件②：由，得， 即，所以， 因为，所以，即，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以； 若选条件③：因为， 所以时，， 两式相减并整理，得，即，又； 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以. （2）由（1）知：， 所以， 所以， 所以， 所以， 两式相减，得 ， 【规范答题】在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式. 所以 方法总结 数列中开放问题的解题策略 (1)先定后动，先对题目中确定的条件进行分析推断，再观察分析“动”条件，结合题干要求选出最适合自己解答的条件求解. (2)最优法，当题干中确定的条件只有一个时，要根据自己的知识优势和擅长之处选择更适合自己的条件进行解答. 模拟训练 1．（2023·陕西西安·统考一模）已知等差数列的前n项和为，满足，_____________． 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选_____________”） (1)求的通项公式； (2)设，求的前n项和． 2．（2023·陕西咸阳·校考一模）已知数列的前项之积为. (1)求数列的通项公式; (2)设公差不为0的等差数列中，，___________，求数列的前项和. 请从①； ②这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分. 3．（2023·辽宁·校联考模拟预测）在①，②这两个条件中选一个合适的补充在下面的横线上，使得问题可以解答，并写出完整的解答过程. 问题：在各项均为整数的等差数列中，，公差为，且______. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 4．（2023·四川·校联考模拟预测）在①，②这两个条件中选一个合适的补充在下面的横线上，使得问题可以解答，并写出完整的解答过程 问题：在各项均为整数的等差数列中，，公差为，且__________ (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和 5．（2023·云南玉溪·统考一模）在①，②这两个条件中选择一个补充在下面的问题中，然后求解． 设等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，， ．（说明：只需选择一个条件填入求解，如果两个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分） (1)请写出你的选择，并求数列和的通项公式； (2)若数列满足，设的前n项和为，求证：． 6．（2023·全国·模拟预测）在①；②；③，当时，为常数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.已知数列的前n项和为，，，且______. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，若，求正整数k的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 7．（2023·福建漳州·统考二模）已知等差数列的前n项和为，若，且________．在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） (1)求的通项公式； (2)设，求的前n项和． 8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）已知数列的前n项之积为