专题04 向量的数量积-【学霸满分】2022-2023学年高一数学下学期重难点专题提优训练（人教B版2019必修第三册）

向量的数量积 目录 一、 知识点归纳 1 二、 题型归纳 2 【题型一】平面向量数量积的定义及辨析 2 【题型二】平面向量数量积的几何意义 3 【题型三】用定义求向量的数量积 4 【题型四】数量积的运算律 6 【题型五】已知数量积求模 6 【题型六】向量夹角的计算 7 【题型七】垂直关系的向量表示 8 【题型八】已知模求数量积 9 【题型九】已知模求参数 10 【题型十】数量积的坐标表示 11 【题型十一】投影向量 13 1、 知识点归纳 1.数量积的定义：一般地，当都是非零向量时，称为向量的数量积(也称为内积)，记作，即＝ 2.数量积的性质 (1)|； (2) ，即; (3) ,即向量垂直的充要条件为； (4) 3.向量投影的数量及数量积的几何意义 （1）一般地，如果都是非零向量，则称为向量在向量上的投影的数量。投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数。 （2）因为 所以两个非零向量的数量积，等于在向量上的投影的数量与的模的乘积，这就是两个向量数量积的几何意义。 （3）特别的，当为单位向量时，因为，所以，即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量上的投影的数量。 4.向量数量积的运算律 交换律：a·b＝b·a. (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb). 对加法满足分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c， 推广结论：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 5.向量数量积的坐标运算 设a＝(x1，y2)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，|a|2＝a·a＝x＋y，|a|＝， cos 〈a，b〉＝. 2、 题型归纳 · 【题型一】平面向量数量积的定义及辨析 1．已知单位向量的夹角为，则使为钝角的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．在中，，点是的中点，则___________. · 【题型二】平面向量数量积的几何意义 3．如图，、是以为直径的圆上的两点，其中，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 4．已知，，是平面向量，满足，，，则向量在向量上的投影的数量的最小值是______. 5．已知，且，则向量在向量上的投影为__________. · 【题型三】用定义求向量的数量积 6．已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（    ） A． B． C． D．1 7．若向量，满足，，，则______． 8．已知向量，，均为单位向量，且它们两两的夹角均为，其中，，则的值为______. · 【题型四】数量积的运算律 9．已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．已知在所在平面内，，则是的__心． · 【题型五】已知数量积求模 11．若向量，满足，，且与的夹角为，则（    ） A．2 B． C． D． · 【题型六】向量夹角的计算 12．已知平面向量满足与的夹角为（    ） A． B． C． D． 13．已知向量和满足：，，，则向量与向量的夹角为______. 14．已知三角形的外接圆半径为1，外接圆圆心为O，且O点满足，则_______，_______． · 【题型七】垂直关系的向量表示 15．已知，向量，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 16．若单位向量满足，向量满足，则（    ）. A． B． C． D． · 【题型八】已知模求数量积 17．在中，，且对于，的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 18．已知向量，，，满足，，，，若，则的最小值为______. · 【题型九】已知模求参数 19．已知单位向量，，与的夹角为. (1)求证； (2)若，，且，求的值. · 【题型十】数量积的坐标表示 20．已知O为坐标原点，点．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．①④ C．①③ D．③④ 21．已知，，，，，那么（    ） A． B．若，则， C．若A是BD中点，则B，C两点重合 D．若点B，C，D共线，则 22．已知向量，． (1)求； (2)求及在上的投影向量的坐标； (3)，求m的值． · 【题型十一】投影向量 23．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 24．设，是互相垂直的单位向量，，，下列选项正确的是（    ） A．若点C在线段AB上，则 B．若，则 C．当时，与共线的单位向量是 D．当时，在上的投影向量为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 向量的数量积 目录 一、 知识点归纳 1 二、 题型归纳 2 【题型一】平面向量数量