专题 正弦定理与余弦定理的综合应用-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第四册）

正弦定理与余弦定理的综合应用 题型1 利用正余弦定理判断三角形形状 2 题型2 多三角形问题 4 ◆类型1三角形角平分线 4 ◆类型2三角形中线 5 ◆类型3一般型 6 ◆类型4四边形型 7 题型3 面积周长相关取值范围问题 8 ◆类型1基本不等式法 8 ◆类型2正弦定理与三角函数法 10 ◆类型3二次函数法 11 知识点一．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC 变形 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； sin A＝，sin B＝，sin C＝； a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； asin B＝bsin A， bsin C＝csin B， asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 使用条件 1.两角一边求角 2.两边对应角 1.三边求角 2.两边一角求边 注意：　上表中A为锐角时，a<bsin A，无解．A为钝角或直角时，a＝b，a<b均无解． 知识点二..三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． 常用结论 1．三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. 2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sinC.(2)cos(A＋B)＝－cosC.(3)sin＝cos .(4)cos＝sin . 3．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 4．三角形中的大角对大边 在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 题型1 利用正余弦定理判断三角形形状 【方法总结】 (1)判断三角形形状的方法 ①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系． ②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． (2)三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化． 【例题1】（2021春·吉林白城·高一校考阶段练习）若，且，那么是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【变式1-1】1．（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（    ） A．若，则一定是等边三角形 B．若，则一定是等腰三角形 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则一定是锐角三角形 【变式1-1】2．（2022·高一课时练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则该三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【变式1-1】3．（2022春·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考期末）在中，角的对边分别为，已知三个向量，共线，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．有一个角是的直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式1-1】4．（2023·高一课时练习）在中，，则的形状为______． 【变式1-1】5.在△ABC中，若(a－c·cos B)·sin B＝(b－c·cos A)·sin A，判断△ABC的形状. 【变式1-1】6．(多选)（2023·全国·高一专题练习）在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为等腰直角三角形 C． D．若，则为钝角三角形 【变式1-1】7．（2023·高一课时练习）在中，已知． (1)求； (2)若，判断的形状． 题型2 多三角形问题 【方法总结】 （1）在多三角形中，隐含条件是邻补角∠ADC与∠ADB，邻补角的正弦值相等，余弦值互为相反数； （2）三角形外找关系，三角形内用定理。 ◆类型1三角形角平分线 【例题2-1】（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足．角A的内角平分线交于点M，若，则（    ） A． B． C． D．2 【变式2-1】1．（2022春·江苏苏州·高一校联考期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 (1)求角C； (2)CD是的角平分线，若，的面积为，求c的值. 【变式2-1】2．（2022·全国·高一假期作业）在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足． (1)求A的大小；