第13讲 二项式定理-2022-2023学年高二数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

第13讲 高二数学学科素养能力竞赛专题训练——二项式定理 【题型目录】 模块一：易错试题精选 模块二：培优试题精选 模块三：名校全国竞赛试题精选 【典型例题】 模块一：易错试题精选 1．已知，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 2．已知展开式中x的系数为q，空间有q个点，其中任何四点不共面，这q个点可以确定的直线条数为m，以这q个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为n，以这q个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为p，则（    ） A．2022 B．2023 C．40 D．50 3．已知，下列命题中，不正确的是（    ） A．展开式中所有项的二项式系数的和为 B．展开式中所有偶数项系数的和为 C．展开式中所有奇数项系数的和为 D． 4．已知集合和分别是由数列和的前100项组成，则中元素的和为（    ） A．270 B．273 C．363 D．6831 5．若二项式的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．1792 D．1120 6．（多选题）若，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）在的展开式中，下列说法正确的有（    ） A．所有项的二项式系数和为256 B．所有项的系数和为1 C．二项式系数最大的项为第4项 D．有理项共4项 8．（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（    ） A．奇数项的二项式系数和为256 B．第6项的系数最大 C．存在常数项 D．有理项共有6项 10．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在年中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．如图所示的杨辉三角中，从第行开始，每一行除外，其他每一个数字都是其上一行的左右两个数字之和，若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为，则这一行是第______行． 11．已知，写出满足条件①②的一个的值__________. ①；②. 12．已知能够被15整除，则最小正数______. 13．已知的展开式中第三项的二项式系数比第二项的系数大，则展开式中的系数为________（用数字作答）． 14．设满足，其中是二项式的展开式中的常数项，则的通项公式__________. 15．在二项式的展开式中，前三项的系数依次为M，P，N，且满足. (1)若直线l：的系数a，b，c（）为展开式中所有无理项系数，求不同直线l的条数； (2)求展开式中系数最大的项. 模块二：培优试题精选 1．对于伯努利数，有定义：.则（    ） A． B． C． D． 2．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，+            例如第行的为第行中两个的和．则下列命题中正确的是(    ) A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是 B．在“杨辉三角”中，当时，从第行起，每一行的第列的数字之和为 C．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．下列各式正确的是（        ） A． B． C． D． 5．下列结论正确的是（    ） A． B．多项式展开式中的系数为52 C．若，则 D． 6．设，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B．当时， C．若，，则 D．当，时， 7．已知（，且），其中，，则（    ） A． B． C． D． 8．下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 9．设，1，2，…，2022）是常数，对于，都有，则= ________. 10．已知．求： (1)； (2)； (3)． 11．求的常数项． 12．已知数列是等比数列，，公比是的展开式的第二项（按的降幂排列）． (1)求数列的通项与前项和； (2)若，求． 13．用记号表示，，其中，. (1)设，求的值； (2)在条件（1）下，记，且不等式恒成立，求实数t的取值范围. 14．已知. （1）当时，求的展开式中含项的系数； （2）证明：的展开式中含项的系数为； （3）定义：，化简：. 15．已知，则 （1）被3除的余数是___； （2）_______. 模块三：名校全国竞赛试题精选 1．（2018·全国·高三竞赛）展开所得关于的多项式中，系数为有理数的共有项 A． B． C． D． 2．（2017春·广西玉林·高三陆川中学竞赛）已知的展开式中的常数项是，则常数的值为