广东省肇庆市第一中学2023-2024学年高二上学期学科能力竞赛数学试题

肇庆市第一中学2023-2024学年高二年级数学学科能力竞赛 一、单选题 1．设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知二面角的棱上两点，，线段与分别在这个二面角内的两个半平面内，并且都垂直于棱.若，，，.则这两个平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且，，则三棱锥的体积为（    ） A． B．3 C． D． 4．“”是“直线被圆所截得的弦长等于”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知圆C的方程为，直线，点P是直线l上的一动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PAOB的面积最小时，直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为.，是椭圆上的点，的中点为，，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 7．已知，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 8．.如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．点在动直线上的投影点为，则点的轨迹方程是 . 10．已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为 . 11．已知圆的圆心在直线上，且与直线和轴都相切，则圆的方程为 . 12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得，则该椭圆离心率的取值范围是 ． 13．已知是棱长为1的正四面体.若点满足，其中，则的最小值为 . 14．设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为 ． 15．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为 ． 16．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.已知圆：，点，平面内一定点（异于点），对于圆上任意动点，都有比值为定值，则定点的坐标为 . 三、解答题 17．已知点，圆． (1)求圆过点的切线方程； (2)为圆与轴正半轴的交点，过点作直线与圆交于两点、，设、的斜率分别为、，求证：为定值． 18．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上． (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值． 四、解答题 19．已知点，点和点为椭圆上不同的三个点.当点，点B和点C为椭圆的顶点时，△ABC恰好是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆标准方程； (2)若为原点，且满足，求的面积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．A 解：因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的，使得, 即， 即，解得：. 2．A 解：由题可知，、在直线上，，，且，，如下图， 故，，，，，， 因为， 故， 故，解得， 所以平面和平面的夹角的余弦值是. 3．A 解：如图，在线段上取点，使得，， 在线段上取点，使得，， 连接，设分别为的中点，连接， 由题意可得，，，，平面， 则，连接，则， 以为原点，以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，则可取， 则点到平面的距离为， 又， 所以三棱锥的体积为.    4．A 解：因为圆的圆心，半径. 又直线被圆截得的弦长为. 所以圆心C到直线的距离， 因此，解得或， 易知“”是“或”的充分不必要条件； 5．A 解：依题意可知， 所以， 所以最小时，最小，此时， 的斜率为，所以此时直线的斜率为，也即此时直线的方程为， 由解得，则， 以为圆心，半径为的圆的方程为， 即，与两式相减并化简得：.    6． B 解：   连接，中点为， ， ，即椭圆方程为 设，则，，连接, 由题意知，，且 ，由二次函数性质得，当时 取得最大值，此时 7．B 解：如图，过点作点