专题11空间向量与立体几何必考题型分类训练-冲刺2023年高考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（新高考专用）

专题11空间向量与立体几何必考题型分类训练 【二年高考真题练】 一．选择题（共1小题） 1．（2022•甲卷）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则（　　） A．AB＝2AD B．AB与平面AB1C1D所成的角为30° C．AC＝CB1 D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45° 二．解答题（共8小题） 2．（2022•甲卷）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝． （1）证明：BD⊥PA； （2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值． 3．（2022•新高考Ⅱ）如图，PO是三棱锥P﹣ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点． （1）证明：OE∥平面PAC； （2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C﹣AE﹣B的正弦值． 4．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为． （1）求A到平面A1BC的距离； （2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值． 5．（2022•乙卷）如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点． （1）证明：平面BED⊥平面ACD； （2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值． 6．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥Q﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3． （Ⅰ）求证：平面QAD⊥平面ABCD； （Ⅱ）求二面角B﹣QD﹣A的平面角的余弦值． 7．（2021•乙卷）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC中点，且PB⊥AM． （1）求BC； （2）求二面角A﹣PM﹣B的正弦值． 8．（2021•甲卷）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1． （1）证明：BF⊥DE； （2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？ 9．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点． （1）证明：OA⊥CD； （2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E﹣BC﹣D的大小为45°，求三棱锥A﹣BCD的体积． 【二年自主招生练】 一．选择题（共5小题） 1．（2022•上海自主招生）空间中到正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱A1D1，AB，CC1距离相等的点有（　　） A．无数 B．0 C．2 D．3 2．（2022•山西自主招生）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知△ABC是边长为1的等边三角形，AA1＝2，E，F分别在侧面AA1B1B和侧面AA1C1C内运动（含边界），且满足直线AA1与平面AEF所成的角为30°，点A1在平面AEF上的射影H在△AEF内（含边界）．令直线BH与平面ABC所成的角为θ，则tanθ的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．（2022•山西自主招生）已知点P是正方体ABCD﹣A'B'C'D'上底面A'B'C'D'上的一个动点，记面ADP与面BCP所成的锐二面角为α，面ABP与面CDP所成的锐二面角为β，若α＞β，则下列叙述正确的是（　　） A．∠APC＞∠BPD B．∠APC＜∠BPD C．max{∠APD，∠BPC}＞max{∠APB，∠CPD} D．min{∠APD，∠BPC}＞min{∠APB，∠CPD} 4．（2022•山西自主招生）如图，将矩形纸片ABCD折起一角落（△EAF）得到△EA′F，记二面角A′﹣EF﹣D的大小为θ（0＜θ＜），直线A′E，A′F与平面BCD所成角分别为α，β，则（　　） A．α+β＞θ B．α+β＜θ C． D．α+β＞2θ 5．（2022•山西自主招生）如图，在正方体ABCD﹣EFGH中，P在棱BC上，BP＝x，平行于BD的直线l在正方形EFGH内，点E到直线l的距离记为d，记二面角为A﹣l﹣P为θ，已知初始状态下x＝0，d＝0，则（　　） A．当x增大时，θ先增大后减小 B．当x增大时，θ先减小后增大 C．当d增大时，θ先增大后减小 D．当d增大时，θ先减小后增大 二．填空题（共3小题） 6．（2021•广东自主招生）设空间区域{（x，y，x）|x2+y2+z2≤1，z≥0}中存在四个点两两距离都是d，则d的最大值为 　 　． 7．（2021•北京自主招生）有三个给