重难专题05 三角形中的范围与最值问题-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019必修第二册）

令学科网 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 专题05三角形中的范围与最值问题 【题型归纳目永】 题型一：周长问题 题型二：面积问题 题型三：长度问题 题型四：转化为角范围问题 题型五：倍角问题 题型六：与正切有关的最值问题 题型七：最大角问题 题型八：三角形中的平方问题 题型九：等面积法、张角定理 【方法技巧与总结】 1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。 解决这类问题，通常有下列五种解题技巧 (1)利用基本不等式求范围或最值： (2)利用三角函数求范围或最值： (3)利用三角形中的不等关系求范围或最值： (4)根据三角形解的个数求范围或最值： (⑤)利用二次函数求范围或最值 要建立所求量（式子）与己知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的 值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题这里要利用条件中的 范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善， 避免结果的范围过大 2、解三角形中的范围与最值问愿常见题型： (1)求角的最值： (②)求边和周长的最值及范围； (3)求面积的最值和范围 【典例例题】 题型一：周长问趣题 例1.(2023云南昆明市第三中学高一期中)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, c,设asnC=cos4-名. (1)求4： (②)从三个条件：①△ABC的面积为√5：②b=√3：③a=√3中任选一个作为已知条件，求 1 ,原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利科购 李科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 △ABC周长的取值范围. 【解折10在，48c中，由品后c得：cm4=uC,又amC=6co4-君 6-2c0s4+ sin A, 6 :tanA=V5,又A∈(0，π)， A=四 3 ②选择O:因为4-胥测Sac-c如A=5bc=5,得bc:4, 由余弦定理得a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-12, 即aABC的周长1=a+b+c=V(b+c)2-12+b+c: 因为b+c≥2√bc=4,当且仅当b=c=2时等号成立， 所以1≥√42-12+4=6，即△ABC的周长的取值范围是[6，+∞). 选择②：b=5,因为4=子b=5 3 2 由正弦定理得a= 2sin B'c= √3sinc 5sin(片-B) 3cosB 3, sin B sin B 2sin B 2 即aABC的周长1=a+b+c= 3 3cosB 333(1+cosB)33 2sin B 2sin B 2 2sin B 2 6cos2B 2 35_335 BB B 4sin -cos- 2 2tan 2 2 因为8则号引故0<a号5 335 所以2an7 B 2 >25 ,即△ABC的周长的取值范围是(2V5,+0) 2 选择③：a=5.因为4-行a=5 由正弦定理得6。 =2, sin B sinC sinA 即a4BC的g长1=a+b+c=2sm8+2sinC+5-2si如B+2s如(5-85 =3sin B+3cosB+3=23sinB++3. 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 2 学科网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 即aABC的周长的取值范围是(2√5,3√5) 例2.(2023重庆高一阶段练习)已知向量ā=(3sinx,cosx),6=(1,1),函数fx)=ab (I)求函数f(x在[0，π上的值域： (2)若△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、C,且f(A=2,a=1,求aABC的 周长的取值范围， 【解析】(a)依题意，f)=a.b=5sinx+cosx=2sin(x+), 6 所以f(x)=2sim(x+巧)在0，上的值域为-1,2] h ②由八利=2s4+名=2得，加4+爱-山，40，，则有4+名-受解得A=号 6 在aABC中，由余弦定理得， I-a=bi+e-2bccosA=b+e-be=(b+e)-3bc2(b+c)-3b+c)=(b+c) 4 4 当且仅当b=c=1时取“=“，即有0<b+e≤2，又因为b+c>a=1,则1<b+c≤2， 因此2<b+c+a≤3， 所以aABC的周长的取值范围为(2,3】 题型二：面积问题 例3.(2023贵州黔东南高一期中)在面积为S的△4BC中，内角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,且2S sin C sin A =(a2+b2sin A. sin B sin C (I)求C的值： ②若4BC为锐角三角形，记m一三，求m的取值范国 【解析】)解：在6ABC中，由三角