第1部分 专题1 第5讲 第1课时 导数与不等式的综合问题（教参word）-（word书稿）2023大二轮【导学教程】旧教材老高考文科数学专题辅导与训练

令学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com□ 您身边的互联网+教辅专家 第5讲导数的综合应用 在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数 考情 函数、对数函数、三角函数为载体考查函数的零点（方程的根）、比较大 分析 小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题， 第1课时 导数与不等式的综合问题 核心考点·重难突破 [对应学生用书P14] 考点一利用导数证明不等式 与e,lnx有关的常用不等式的结论 (I)由x)=e图象上任一点(m,m)的切线方程为y一em=er一m,得c≥ex+1) mem,当且仅当x=m时，等号成立.当m=0时，有e≥x十1：当m=1时，有c>x (2)由过函数x)=lnx图象上任一点(n,m)的切线方程为y一nn=lnx一m,得lnxr≤ lm一1十lnn,当且仅当x=n时，等号成立，当n=1时，有lnx≤x一1：当n=e时，有nx ≤lex. 角度1单变量不等式的证明 [例1](2021全国卷1)设函数x)=ln(a一x),已知x=0是函数y=x)的极值点. (1)求a: (2)设函数g)=x+f(x)x寸()，证明：gx)<1 解析(I)[xx]'=xx)十xfx)=x)十xf(. 当x=0时，y'k=0=0)=na=0,所以a=1 经检验符合题意」 (2)证明由fx)=ln(1-x),得x<1 当0<x<1时，fx)=ln(1-x)<0,x)<0:当x<0时，)=n(1-x)>0,xfx)<0 故即证x+fx)>x),十ln(1-x)-xln(1一x)>0 令1一x=(>0且t≠1)，x=1一4， 即证1-t+lnt-(1-t)lnt>0 令h(0=1-1+lnt-(1-0n1,则h(0=-1+1-(-1)nt+y1-)=-1+1t+n t-1-#=In t. t∈(0,1)时，h'(0<0: te(1,+∞)时，h'(0>0, 所以h(0在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，故0>1)=0，得证. [规律方法] ◆独家授权侵权必究 令学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 证明单变量不等式的两种方法 (I)利用单调性证明单变量不等式：一般地，要证)>gx)在区问(a,b)上成立，需构造 辅助函数Fx)=fx)一gr),通过分析F)在端点处的函数值来证明不等式.若F()=0,只需 证明Fx)在(a,b)上单调递增即可；若Fb)=O,只需证明F(x)在(a,b)上单调递减即可： (2)利用最值证明单变量不等式：利用最值证明单变量不等式的常见形式是x)>g).证 明技巧：先将不等式x)>gx)移项，即构造函数hx)=)一gx),转化为证不等式h (>0,再次转化为证明x)m>0,因此，只需在所给的区间内，判断h(x)的符号，从而判 断其单调性，并求出函数)的最小值，即可得证。 角度2双变量不等式的证明 [例2](2020天津卷节选)已知函数)=x3+knx(k∈R),e)为)的导函数。 (1)当k=6时，求函数gx)=x)一f)+红的单调区间和极值. (2)当k≥-3时，求证：对任意的，∈[1，+∞)，且1>，有P(x1)十f(x2)2 f(x1)-f(x2)x1-x2 解析(1)当k=6时，x)=x3+6nx 依题意，g9=xr3-3x2+6nx+3,x∈(0，+∞) 从而可得g'(x)=3x2-6r+6m-3x2, 整理可得g'(x)=3(x-1)3(x十1)x2 令g'x)=0,解得x=1 当x变化时，g'(心)，g()的变化情况如表： (0,1) (1,+∞) g'(x) 0 + 8(x) 极小值 所以，函数g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，十∞)：g)的极小值为g (1)=1,无极大值. (2)证明由fw)=x3+klnx, 得fx)=3x2+r 对任意的，x2∈[1，十∞)，且x2, 令xlx2=(P1), 则一2)f)+f2)》一2(n)一x2) 22 =(x1-x2)12alvs4alcol(3x+\f(kkx2)-212lalvs4lallcol(x-x+k in fxIx2)) 332 =x1-x2-3x1x2+3xx2+aWs4allcol(f(xIx2x1)-2k In xIx2 ·独家授权侵权必究。 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3 =x2(3-32+3t-1)+kaws4alco1t-/f10-2n).① 令he=x-lx-2nx,x∈[1，+o) 当xo1时，h'x)=1+1x2-2x=aws4 alcol(1-1x)2>0, 由此可得hx)在[1，+o∞)单调递增，所以当r1时，0>