第1部分 专题5 第2讲 统计与统计案例（教参word）-（word书稿）2023大二轮【导学教程】旧教材老高考理科数学专题辅导与训练

第2讲　统计与统计案例 考情 分析 高考关于此部分内容在选择题、填空题中的命题热点是用样本估计总体和变量的相关性，难度较低；解答题中，多以综合题的形式考查：一是频率分布直方图或茎叶图与概率综合；二是频率分布直方图或茎叶图与线性回归分析或独立性检验综合，难度中等． [对应学生用书P62] 考点一　用样本估计总体 1．直方图的两个结论 (1)小长方形的面积＝组距×＝频率． (2)各小长方形的面积之和等于1. 2．统计中的四个数字特征 (1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据． (2)中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数． (3)平均数：样本数据的算术平均数，即 ＝(x1＋x2＋…＋xn). (4)方差与标准差 方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]. 标准差： s＝. 　(2022·包头二模)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的100件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为[485，495)，[495，505)，…，[525，535].由此得到样本的频率分布直方图如下图． (1)估计这条生产流水线上，质量超过515克的产品的比例； (2)求这条生产流水线上产品质量的平均数和方差s2的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表). 解析　(1)由样本频率分布直方图得， 所抽取的100件产品中质量超过515克的产品的频率为×10＝0.3， 用样本分布估计总体分布可知这条生产流水线上，质量超过515克的产品的比例为30%； (2)＝490×0.15＋500×0.2＋510×0.35＋520×0.2＋530×0.1＝509， s2＝2×0.15＋2×0.2＋12×0.35＋112×0.2＋212×0.1＝139. 所以，这条生产流水线上产品质量的平均数和方差s2的估计值分别为509，139. [方法归纳] 众数、中位数、平均数与直方图的关系 (1)众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标． (2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标． (3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和． (2022·马鞍山质检)为落实国务院关于深化教育改革，全面推进素质教育，提高学生体质健康水平的要求，每个中学生每学年都要进行一次体质健康测试(以下简称体测).根据“中学生体测标准分数对照表”将学生各项体测成绩转换为分数后，学生的体测总分由如下计算公式得到：体测总分＝体重指标(BMI)分数×15%＋肺活量分数×15%＋50米跑分数×20%＋坐位体前屈分数×10%＋立定跳远分数×10%＋一分钟引体向上(男)/仰卧起坐(女)分数×10%＋1000米跑(男)/800米跑(女)分数×20%.体测总分达到90分及以上的为“优秀”；分数在[80，90)为“良好”；分数在[60，80)为“合格”；60分以下为“不合格”．某市教体局为了解该市一所中学的学生体质健康状况，随机抽取了该校210名学生的体测成绩，恰有10名学生的成绩为“不合格”．剔除这10名学生的成绩后得频率分布直方图如下： (1)若某男同学体测总分为89分，该同学除了“肺活量”分数以外的各项分数如下：“体重指标(BMI)”为89分，“50米跑”为90分，“坐位体前屈”为85分，“立定跳远”为95分，“一分钟引体向上”为70分，“1000米跑”为95分．求这名男同学的“肺活量”分数； (2)已知该市教体局体测总分“优秀率”目标不低于8%，并要求“优秀率”抽查结果不达标的学校要进行整改，试根据以上数据判断该校是否需要进行整改． 解析　(1)设该同学肺活量的得分为a，则根据题意可得， 89×15%＋15%a＋90×20%＋85×10%＋95×10%＋70×10%＋95×20%＝89，解得a＝91. 即这名男同学的“肺活量”分数为91分． (2)根据频率分布直方图可得，体测成绩在90分以上的有200×(0.010＋0.006)×5＝16人， 该校体测“优秀率”为≈0.076＝7.6%<8%， 故该校需要进行整改． 考点二　回归分析 1．线性回归方程 方程＝x＋称为线性回归方程，其中＝，＝－，(，)称为样本点的中心． 2．样本数据的相关系数r r＝， 反映样本数据的相关程度，|r|越大，相关性越强． 　(2022·新余二模)某地1～10岁男童年龄xi(岁)与身高的中位数yi(cm)(i＝1，2，…，10)如下表： x(岁) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y(cm) 76.5 88.5 96.8 104.1 111.3 117.7 124.0