第1部分 专题4 第3讲 空间向量与立体几何（教参word）-（word书稿）2023大二轮【导学教程】旧教材老高考理科数学专题辅导与训练

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第3讲空间向量与立体几何 高考对此部分的命趣较为稳定，一般为解答趣，多出现在第18或19 考情 题的第二问的位置，考查利用空间向量求异面直线所成的角、线面 分析 角或二面角，难度中等偏上 核心考点·重难突破 [对应学生用书P51] 考点一利用空间向量证明空间位置关系 直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线1的方向向量为a=(a1,b1c),平而a,的法向量分别为=(a2,b2,c).=(a b3,C),则 (1)线面平行 1∥a÷a⊥h÷dH=0台a2+bb2十cc3=0 (2)线面垂直 1⊥a÷a∥u÷a=k÷a=ka2,b=k励，C=kc2 (3)面面平行 a∥B÷4∥÷4=Aw÷a2=a,b2=h3,c2=c (4)面面垂直 a⊥B÷4⊥0÷4v=0÷a2a3+b2b3+c2c=0 0 [例1]如图，在直三棱柱ADE-BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂 直，点M为AB的中点，点O为DF的中点.运用向量方法证明： (1)OM∥平面BCF (2)平面MDF⊥平面EFCD 证明(I)由题意，得AB,AD,AE两两垂直，以点A为原，点建立如图所示的空间直角 坐标系A-yz ◆独家授权侵权必究 亨学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2xXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 设正方形边长为1， 则A(0.0.0),B1.0.0),C1,1,0),D0,10), F1,0,1),a\vs4\a1co1(0f(12),0,0,O12,12,12) 一=aiws4 acol0,-if12,（-1.0o, =0,.⊥ 棱柱ADE-BCF是直三棱柱， AB⊥平面BCF, “是平面BCF的一个法向量， 且OM平面BCF,∴.OM∥平面BCF (2)设平面MDF与平面EFCD的法向量分别为 h1=(,h,3),2=(,Jy2,32) =1,-1,1),=1avs4\alco10f12),-1,0), =(1,0.0),=(0,-1,1), 由n1-loDF-)DM-)=0,得x1-y1十z1=0,12x1-y1=0, 令=1，则1=avs4 alcol(1,f112). 同理可得n2=(0,1,1), :n1n2=0 .平面MDF⊥平面EFCD [规律方法] 1.利用向量法证明平行、垂直，关键是建立恰当的坐标系（尽可能利用垂直条件，准确 写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)， 2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的 定理，如本例(I)中忽略OM仗平面BCF面致误。 跟踪训练 ◆独家授权侵权必究+ 亨学科网书城画 品牌书店·知名教数辅·正版资源 6ZXXk.C0m○ 您身边的互联网+教辅专家 0 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,BC=2,AD=CD =1,M是PB的中点. (I)求证：AM∥平面PCD: (2)求证：平面ACM⊥平面PAB. 证明(I)如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系Cy2, 则A11.0),B0,2,0,C(0,0,0),D1,0,0), 设PA=a,则P(1,1,a)(a>0), Mawvs4alcol(f(13a2), =(1,1,a),=(1,0,0). 一=aws4 acol(-i1la2, 设平面PCD的法向量为1=(，yo,0, 则o(CP→)CD-))·n1=0, 即x0+y0十az0=0,x0=0,) 令%=a,则n1=(0,a,-1), 所以m1=a2-a2=0, 又AM平面PCD,所以AM∥平面PCD (2)由（①得，=(1,10， =\aws4alcol(f(13a2), 设平面ACM的法向量为2=(：，，1)， 则o(CA→)CM→)·n2=0 即x1十y1=0,13a2)z1=0, 令=1，则2=\avs4\al\col(1,-1,f(2a),) ·独家授权侵权必究 品牌书店·知名教辅·正版资源 学科网书城 您身边的互联网+数轴售家 b。2xxk.COm =(0，0，a)，-=(-1，1，0)， 设平面PAB的法向量为n_3=(x_2，y_2，2)， 则o(AB→)AP→))·n3=0， 即-x2+y2=0，az2=0，) 令x_2=1，则n_3=(1，1，0)， 所以n_2n_3=1-1=0 所以平面ACM⊥平面PAB 考点二利用空间向量求空间角 三种空间角与空间向量的关系 (1)线线角：设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则两异面直线所成的角θ满足cos θ=|a·b|a·b。 (2)线面角：设I是斜线l的方向向量，n是平面a的法向量，则斜线l与平面