专题12 二次函数菱形存在性综合应用（专项训练）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

专题12 二次函数菱形存在性综合应用（专项训练） 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中OA＝OC＝2OB，D（0，4）是OA的中点． （1）求该二次函数的解析式． （2）如图1，若E为该抛物线在第一象限内的一动点，点F在该抛物线的对称轴上，求使得△ECD的面积取最大值时点E的坐标，并求出此时EF+CF的最小值． （3）如图2，将抛物线C1向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2，M为抛物线C2上一动点，N为平面内一动点，是否存在这样的点M，N使得四边形DMCN为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（﹣4，0）．与y轴交于点C（0，4），连接AC，BC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是第二象限内抛物线上的一点，当点P到AB，AC距离相等时，求点P的坐标； （3）如图2，点M在抛物线上，点N在直线BC上，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使四边形BMNQ为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣2，4），B（2，0）两点，与y轴交于点C， DE＝AB，DE在直线AB上滑动，以DE为斜边，在AB的下方作等腰直角△DEF． （1）求抛物线的解析式； （2）当△DEF与抛物线有公共点时，求点E的横坐标t的取值范围； （3）在△DEF滑动过程中是否存在点P，使以C，D，E，P为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）求△BCP的面积最大值； （3）点M是抛物线的对称轴l上一动点． ①是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． ②请在平面内找到一点N，使得以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形，并直接写出N点的坐标． 5．如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交BC的延长线于点H，求点M的坐标； （3）点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝3OA＝3，点P是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式及点C坐标； （2）如图1，若点P在第一象限内，过点P作x轴的平行线，交直线BC于点E，求线段PE的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，交直线BC于点M，在y轴上是否存在点G，使得以M，P，C，G为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点G坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式及对称轴； （2）如图，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标； （3）点M是抛物线上一动点，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 8．已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值； （3）如图2，D（m，0）是x的正半轴上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M'．在图2中探究：是否存在点D，使得四边形CMNM′是菱形？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由． 9.如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AP，CP，设P点的横坐标为m，△ACP的面积为S，求S与m的函数关系式； （3）试探究：过点P作BC的平行线1，交线段AC于点D，在直线l上