天津市南开大学附属中学2023届高三下学期2月统练(一)数学试题

南大附中2023届高三年级数学学科统练（一） 2023.02 一、选择题 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，其图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 某校100名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为20人，则a的估计值是（ ）． A. 130 B. 140 C. 133 D. 137 5. 已知定义在上的偶函数在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 6. 双曲线的离心率为，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于点，（为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为( ) A. B. C. D. 7. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，其中有如下记载:将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.现有直径长为2的胶泥球胚，某数学兴趣小组的同学需在此胶泥球胚中切割出底面为正方形，且垂直于底面的侧棱与底面正方形边长相等的阳马模型的几何体，若要使该阳马体积最大，则应削去的胶泥体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数部分图象如图所示，则下列四个结论中正确的个数是（ ） ①若，则函数的值域为 ②是函数图象的一个对称轴 ③函数在区间上是增函数 ④函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 已知，函数恰有3个零点，则m取值范围是（ ） A B. C. D. 二、填空题 10. 复数（为虚数单位）的共轭复数是______． 11. 的展开式中，的系数是__________（用数字填写答案）. 12. 已知直线和圆相交于，两点.若，则的值为___________. 13. 设，那么 的最小值是___________. 14. 已知袋内有大小相同的1个红球和3个白球，袋内有大小相同的2个红球和4个白球.现从､两个袋内各任取2个球，则恰好有1个红球的概率为___________；记取出的4个球中红球的个数为随机变量，则的数学期望为___________. 15. 在四边形中，，，，且，，则实数的值为______，若是线段上的动点，是线段上的动点，且满足，则的最小值为______. 三、解答题 16. 在中，角所对边分别为．已知且． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，E为CD的中点，M在AB上，且， （1）求证：平面PAD； （2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值； （3）点F是线段PD上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF与AC所成角为，求AF的长． 18. 已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.椭圆的左顶点为A，直线与椭圆的另一个交点为，点关于原点的对称点为点，直线，与轴分别交于，两点. （1）求椭圆的方程. （2）是否存在定点，使得，若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. 19. 已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项． （1）求和的通项公式； （2）已知，数列满足，求数列的前2n项和； （3）设，求数列的前n项和． 20. 已知函数． （1）若实数，求函数在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）设，若且，使得，证明：． 南大附中2023届高三年级数学学科统练（一） 2023.02 一、选择题 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】A 二、填空题 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】##1.75 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】16 【14题答案】 【答案】 ① ②. 【15题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2）存在，T为或 【19题答案】 【答案】（1）（）；（） （2）（） （3）（） 【20题答案】 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$