圆—新定义2023年 九年级数学中考复习

圆—新定义 九年级数学中考复习 1．在平面直角坐标系中，点，到直线的距离公式为：，例如，求点到直线的距离． 解：由直线知：，，， 所以到直线的距离为：． 根据以上材料，解决下列问题： （1）求点到直线的距离； （2）已知：是以点为圆心，1为半径的圆，与直线相切，求实数的值； （3）如图，设点为问题2中上的任意一点，点，为直线上的两点，且，请求出面积的最大值和最小值． 2．一般地，关于，的二元一次方程，，为常数，，都可以改写成，是常数，的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线．这条直线上每个点的坐标都是这个二元一次方程的解． 类似的，在平面直角坐标系中，满足，的不等式，，为常数，的解也可以用坐标表示，以该不等式的解为坐标的点的全体叫做该不等式的解集，所有这些点构成的图形记为． 若点在图形内，我们称点被不等式所覆盖；对于任意图形，若该图形上的所有点都在图形内，那么我们就称图形被所覆盖． 结合以上信息，回答下列问题： （1）以下三个点：，，其中被不等式覆盖的点有 　　； （2）已知，，，若被不等式覆盖，求的取值范围； （3）如图1，图形是以为圆心，半径为2的圆，要使图形被不等式（其中为常数）所覆盖，求的最大值． 3．过直线外一点且与这条直线相切的圆称为这个点和这条直线的点线圆．特别地，半径最小的点线圆称为这个点和这条直线的最小点线圆． 在平面直角坐标系中，点． （1）已知点，，，分别以，为圆心，1为半径作，，以为圆心，2为半径作，其中是点和轴的点线圆的是 　　； （2）记点和轴的点线圆为，如果与直线没有公共点，求的半径的取值范围； （3）直接写出点和直线的最小点线圆的圆心的横坐标的取值范围． 4．在平面直角坐标系中，圆的半径为1，对于和直线给出如下定义： 若的一条边关于直线的对称线段，且、两点均在圆上，则称是圆的关于直线的“关联三角形”，直线是“关联轴”． （1）如图1，若是圆的关于直线的“关联三角形”，请画出与圆的“关联轴”（至少画两条）； （2）如图2，若中，点坐标为，点坐标为，点在直线上，存在“关联轴”使是圆的关联三角形，写出点横坐标的取值范围：　　； （3）已知，，将点向上平移2个单位得到点，以为圆心为半径画圆，，为圆上的两点，且（点在点右侧），若与圆的关联轴至少有两条，直接写出的最小值和最大值，以及最大时的长． 的最小值为 　　；的最大值为 　　，的最大时，的长为 　　． 5．在平面直角坐标系中的上，有弦，取的中点，将点绕原点顺时针旋转得到点，称点为弦的“中点对应点”．设是以为圆心，半径为2的圆． （1）已知弦长度为2，点为弦的“中点对应点”． ①如图1：当轴时，在图1中画出点，并且直接写出线段的长度； ②当在圆上运动时，直接写出线段的取值范围． （2）已知点，点为上的一动点，设直线与轴、轴分别交于点、点，若线段上存在弦的“中点对应点”点，求出的取值范围． 6．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段，给出如下定义：若将线段沿着某条直线对称可以得到的弦，分别为，的对应点），则称线段是的以直线为对称轴的对称的“反射线段”，直线称为“反射轴”． （1）如图1，线段、、中是的以直线为对称轴的“反射线段”有 　　； （2）已知点的坐标为，点坐标为． ①如图2，若线段是的以直线为对称轴的“反射线段”，画出图形，反射轴与轴的交点的坐标是 　　． ②若将“反射线段” 沿直线的方向向上平移一段距离，其反射轴与轴的交点的纵坐标的取值范围为，求的取值范围． （3）已知点、是在以为圆心，半径为的圆上的两个动点，且满足，若是的以直线为对称轴的“反射线段”，当点在圆上运动一周时，反射轴与轴的交点的纵坐标的取值范围是 　　． 7．【新知】 19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若交轴于点、，则、为方程的两个实数根． 【探究】 （1）由勾股定理得，，，．在中，所以． 化简得：．同理可得：　　． 所以、为方程的两个实数根． 【运用】 （2）在图2中的轴上画出以方程两根为横坐标的点、． （3）已知点、，以为直径作．判断与轴的位置关系，并说明理由． 【拓展】 （4）在平面直角坐标系中，已知两点、，若以为直径的圆与交轴有两个交点、，则以点、的横坐标为根的一元二次方程是 　　． 8．，是上的两个点，点在的内部．若为直角，则称为关于的内直角，特别地，当圆心在边（含顶点）上时，称为关于的最佳内直角．如图1，是关于的内直角，是关于的最佳内直角．在平面直角坐标系中． （1）如图2，的半径为5，，是上两点． ①已知，，，在，，中，是关于的内直角的是 　　； ②若在直线上存在一点，使得是关于的内直角，求的取值范围． （2）点是以为圆心，4为半径的圆上一个动点，与轴交