2023年罗马尼亚大师杯数学奥林匹克试题

第14届罗马尼亚大师杯(2023)第一天 1.求所有的质数p和正整数工，，使得 x3+3=p(ry+p): 2.设整数n≥3.S是平面上n个点构成的集合，任意三点不共线.对S中不同 的三点A,B,C,称△ABC关于边AB是“好的”，如果对S中所有不同于A,B的 点X,都有S△ABC≤S△ABX,(关于一条线段AB可能有若干个好三角形.)称 个三角形是“优美的”，如果它的顶点都属于S且它关于至少两条边是好的.求证： 至少有n-1)个优美的三角形. 3.设整数n≥2，∫是一个4n元实系数多项式.已知对坐标平面中的任意2n个 点(c1,1,…,(c2m,2n),f(r1,h,,x2m,2m)=0当且仅当这些点可以以某种 顺序作为一个正2边形的顶点，或者全相同.求∫的次数的最小可能值. 注：多项式 g(x,）=4z3y3+x+-2 的次数为7，这是因为7=3+4. 第14届罗马尼亚大师杯(2023)第二天 4.在锐角△ABC中，H,O分别是垂心和外心.K是AH的中点，1是过O的 一条直线.P,Q分别是B,C在1上的投影，求证： KP+KQ≥BC 5.设P,Q,R,S是非常值实系数多项式，满足P(Q(x)=R(S(x),且P的次 数是B的次数的倍数.求证：存在实系数多项式T,使得 P(x)=R(T()). 6.设r,g,b是非负整数，T是一个连通图，有r+g+b+1个顶点，边被染为 红、绿或蓝.已知 ·下含一个生成树，恰有r条红边： ·T含一个生成树，恰有g条绿边： ·下含一个生成树，恰有条蓝边. 求证：工含一个生成树，恰有r条红边、9条绿边和b条蓝边 2