专题02 【大题限时练二】-备战2023年河北高考数学满分限时题集

专题02 大题限时练二 1．已知数列的各项均不为零，为其前项和，且． （1）证明：； （2）若，数列为等比数列，，求数列的前2022项和． 2．在中，角，，的对边分别为，，．已知，． （1）若，求； （2）若为的中点，且，求的面积． 3．如图，在三棱柱中，平面平面，，，四边形是菱形，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 4．中医药传承数千年，治病救人济苍生．中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率．对改善发热、咳嗽、乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果．”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治．现有6位症状相同的确诊患者，平均分成，两组，组服用甲种中药，组服用乙种中药．服药一个疗程后，组中每人康复的概率都为，组3人康复的概率分别为． （1）设事件表示组中恰好有1人康复，事件表示组中恰好有1人康复，求； （2）若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲、乙两种中药哪种药性更好？ 5．已知点，，，，点满足，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若直线与双曲线：交于，两点，且为坐标原点），求点到直线距离的取值范围． 6．已知函数，其中为自然对数的底数． （1）若，求函数的单调区间； （2）证明：对于任意的正实数，总存在大于的实数、，使得当，肘，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 大题限时练二 1．已知数列的各项均不为零，为其前项和，且． （1）证明：； （2）若，数列为等比数列，，求数列的前2022项和． 【答案】（1）见解析；（2）4044 【详解】（1）证明：因为① 所以② ②①得， 因为，所以． （2）解：由得，于是， 由得的公比． 所以，． 由得， 由得， 因此 ． 2．在中，角，，的对边分别为，，．已知，． （1）若，求； （2）若为的中点，且，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为， 所以， 在中，由正弦定理得，， 所以． （2）在中，由余弦定理得，， 所以，即①， 因为为的中点，所以， 在中，由余弦定理得，， 在中，由余弦定理得，， 由，得②， 联立①②可得，， 所以的面积． 3．如图，在三棱柱中，平面平面，，，四边形是菱形，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：四边形是菱形，，， 因为平面平面，平面平面， 平面，； ，，又，且，平面， 平面； （2）如图，连接， ，，是的中点，，又， 又平面平面，平面平面， 平面， 设，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，，，，，， ，0，，，，，，，， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得，，， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得，2，， ，， 二面角的余弦值为． 4．中医药传承数千年，治病救人济苍生．中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率．对改善发热、咳嗽、乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果．”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治．现有6位症状相同的确诊患者，平均分成，两组，组服用甲种中药，组服用乙种中药．服药一个疗程后，组中每人康复的概率都为，组3人康复的概率分别为． （1）设事件表示组中恰好有1人康复，事件表示组中恰好有1人康复，求； （2）若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲、乙两种中药哪种药性更好？ 【答案】见解析 【详解】（1）依题意有，， ， 又事件与相互独立， 则， 所以； （2）设组中服用甲种中药康复的人数为，则， 所以， 设组的积分为，则， 所以， 设组中服用乙种中药康复的人数为，则的可能取值为：0，1，2，3， ， ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 所以， 设组的积分为，则， 所以， 因为，所以甲种中药药性更好． 5．已知点，，，，点满足，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若直线与双曲线：交于，两点，且为坐标原点），求点到直线距离的取值范围． 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）设， 因为， 所以， 化简得，． （2）联立直线与双曲线的方程，得， 所以， 设，，，， 所以， 得且， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以， 化简，得， 把，代入，得 ， 化简得， 因为且， 所以有且，解得， 圆的圆心为，半径为1， 圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大