专题08 【大题限时练八】-备战2023年河北高考数学满分限时题集

专题08 大题限时练八 1．在中，内角，，的对边分别为，，，若． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 2．已知数列的前项和为，且，，当时，，数列是正项等比数列，且，． （1）求和的通项公式； （2）把和中的所有项从小到大排列，组成新数列，例如的前7项为2，2，2，3，4，4，5，求数列的前1000项和． 3．如图，是边长为的等边三角形，，分别为，的中点，是的中心，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且平面． （1）证明：； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 4．目前，全国多数省份已经开始了新高考改革．改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成． 注：甲、乙两名同学对选择性科目的选择是随机的． （1）省规定：选择性考试科目学生可以从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任选3门参加选择性考试．求甲同学在选择物理科目的条件下，选择化学科目的概率； （2）省规定：3门选择性科目由学生首先从物理科目和历史科目中任选1门，再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中任选2门． ①求乙同学同时选择物理科目和化学科目的概率； ②为调查学生的选科情况，从某校高二年级抽取了10名同学，其中有6名首选物理，4名首选历史．现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查．将其中首选历史的人数记作，求随机变量的分布列和数学期望． 5．已知抛物线的焦点在轴上，过且垂直于轴的直线交于（点在第一象限），两点，且． （1）求的标准方程； （2）已知为的准线，过的直线交于，，异于，两点，证明：直线，和相交于一点． 6．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 大题限时练八 1．在中，内角，，的对边分别为，，，若． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）因为， 所以， 可得，由正弦定理知化简得， 由余弦定理知，， 因为， 所以． （2）由（1）知，， 所以， 又是锐角三角形，可得，解得， 由正弦定理知，， 又，可得， 所以， 因为，所以， 所以， 故面积的取值范围为，． 2．已知数列的前项和为，且，，当时，，数列是正项等比数列，且，． （1）求和的通项公式； （2）把和中的所有项从小到大排列，组成新数列，例如的前7项为2，2，2，3，4，4，5，求数列的前1000项和． 【答案】（1）；；（2） 【详解】（1）当时，，时，，相减可得：， 由，时，，解得， ，而， 数列从第二项开始为等差数列，． ． 设正项等比数列的公比为，，． ，，解得， ． （2）数列的前1000项为：2，2，3，4，5，，1000， 数列为：，，，，， 因此新数列中包括数列的前991项为：2，2，3，4，5，，991， 包括数列的前9项：，，，． 数列的前1000项和 ． 3．如图，是边长为的等边三角形，，分别为，的中点，是的中心，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且平面． （1）证明：； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：连接，是边长为的等边三角形， ，分别为，的中点，是的中心， ，， 平面，平面，， ，平面， 平面，； （2）依题意，，在中，， 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，0，，，，，，0，， ，0，，，，， 由（1）知，，，是平面的一个法向量， 设平面的法向量为，，， 则，令，得，， ，， ． 平面与平面所成二面角的正弦值为． 4．目前，全国多数省份已经开始了新高考改革．改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成． 注：甲、乙两名同学对选择性科目的选择是随机的． （1）省规定：选择性考试科目学生可以从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任选3门参加选择性考试．求甲同学在选择物理科目的条件下，选择化学科目的概率； （2）省规定：3门选择性科目由学生首先从物理科目和历史科目中任选1门，再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中任选2门． ①求乙同学同时选择物理科目和化学科目的概率； ②为调查学生的选科情况，从某校高二年级抽取了10名同学，其中有6名首选物理，4名首选历史．现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查．将其中首选历史的人数记作，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】见解析 【详解】（1）“选择物理“记作事件，“选择化学“为事件，则 ， 则． （2）对于①，“选择物理“记作事件，“选择化学“记作事件， 则， 事件与事件相互独立，则； 对于②，随机变量可以取