第17讲正多边形与圆（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）-冲刺2023年中考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（上海专用）

第17讲正多边形与圆（知识精讲+真题练+模拟练+自招练） 【考纲要求】 1． 了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积； 2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力. 【知识导图】 【考点梳理】 考点一、正多边形和圆 1、正多边形的有关概念： (1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. (2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心. (3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径. (4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径.） (5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角. 2、正多边形与圆的关系： (1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形. 　　(2)这个圆是这个正多边形的外接圆. 　 （3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆. （4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3、正多边形性质： 　　(1)任何正多边形都有一个外接圆. 　　(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心. (3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． （4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 要点诠释： （1） 正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是；所以正n边形的中心角等于它的外角. （2） （2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比. 考点二、圆中有关计算 1．圆中有关计算 　　圆的面积公式：，周长. 　　圆心角为、半径为R的弧长. 　　圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积. 　　弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算. 　　圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为. 　　圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有. 弓形的面积 （1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S弓形=S扇形-S△OAB； （2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S弓形=S扇形+S△OAB. ( · O A B · A B O m · A B O m ) 要点诠释： 　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即； 　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； 　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：. 【典型例题】 题型一、正多边形有关计算 例1．如图，矩形ABCD中，AB=4，以点B为圆心，BA为半径画弧交BC于点E，以点O为圆心的⊙O与弧AE，边AD，DC都相切．把扇形BAE作一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆恰好是⊙O，则AD的长为（　　） A.4 B. C. D.5 【变式1】如图，两个相同的正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边 形外接圆圆心O处．求重叠部分面积与阴影部分面积之比. 【变式2】 已知：正十边形的半径是R，求证：它的边长为. 题型二、正多边形与圆综合运用 例2．如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线． （1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由； （2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积． 【变式】如图所示，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是( ) A． B． C． D． 例3．如图，已知在⊙O中，，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°． (1)求图中阴影部分的面积； (2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请你出这个圆锥的底面圆的半径． 【中考过