冲刺小练习17：单线段最值－－－－点圆位置关系-2023年中考数学冲刺模块小练习

冲刺小练习 17：单线段最值－－－－点圆位置关系 ➢ 图态剖析 如图，在⊙O外有一点 P，在圆上找一点 M，使得 PM最长或最短，由图可知：当点 M在点 M′时，PM 最长；当 M 在 M′′时，PM 最短 【小结】点与圆的最值问题在本质上仍然是利用了三角形三边关系，化折为直 ➢ 典型练习 1.如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以 BC 为直径的半圆交 AB 于 点 D，P 是弧 CD 上的一个动点，连接 AP，则 AP 的最小值是__________． 图 1 图 2 2. 如图 2，已知直线 y= 3 4 x+3 与坐标轴分别交于 A、B 两点，M 是以 C（6，0）为 圆心，2 为半径的圆上一动点，连接 MA、MB，则△MAB 面积的最大值是______． 3. 如图 3，边长为 1的正方形 ABCD中，以 A 为圆心，1为半径作𝐵?̂?，将一块直角三角板 的直角顶点 P 放置在𝐵?̂?（不包括端点 B、D）上滑动，一条直角边通过顶点 A，另一条直角 边与边 BC 相交于点 Q，连接 PC，则△CPQ 周长的最小值为____________. 4.如图 4，在四边形 ABCD 中，AB=BD，∠BDA=45°，BC=2，若 BD⊥CD 于点 D， 则对角线 AC 的最大值为 . 图 4 图 5 图 6 5.如图 5，抛物线 y＝ 15 32 (x−6)2− 15 8 与 y轴交于点 A，与 x 轴交于 B、C，点 A关于抛物线对 称轴的对称点为点 D，点 E 在 y轴上，点 F在以点 C 为圆心，半径为 2 的圆上，则 DE+EF 的最小值是 ． 6.如图 6，抛物线 y= 1 4 x 2 －4 与 x 轴交于 A、B 两点，P 是以点 C（0，3）为圆 心，2 为半径的圆上的动点，Q 是线段 PA 的中点，连接 OQ，则线段 OQ 的最大 值是 ． 7.如图，AC 是半径为 1 的⊙O 的一条弦，点 D 是⊙O 直径 AB 延长线上一点， AC=CD，BC=BD． （1）求证：直线 CD 是⊙O 的切线； （2）点 P 在𝐴𝐸?̂?上运动，过点 C 作 CP 的垂线，与 PA 的延长线交于点 F． ①当点 P 运动到与点 C 关于直径 AB 对称时，求 PF 的长； ②当点 P 运动到何处，PF 取到最大值？请直接写出此时点 P 的位置以及 PF 的 长． 冲刺小练习 17：单线段最值------点圆位置关系 ➢ 图态剖析 如图，在⊙O外有一点 P，在圆上找一点 M，使得 PM最长或最短，由图可知：当点 M在点 M′时，PM 最长；当 M 在 M′′时，PM 最短 【小结】点与圆的最值问题在本质上仍然是利用了三角形三边关系，化折为直 ➢ 典型练习 1.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以 BC 为直径的半圆交 AB 于点 D，P 是弧 CD 上的一个动点，连接 AP，则 AP 的最小值是__________． 【解】如图，取 BC 的中点 E，连接 AE，交半圆于 P 2，在半圆上取 P 1，连接 AP 1， EP 1，可见，AP 1+EP 1＞AE，即 AP 2 是 AP 的最小值， ∵AE=解：找到 BC 的中点 E，连接 AE，交半圆于 P 2，在半圆上取 P 1，连接 AP 1， EP 1，可知 AP 1+EP 1＞AE，即 AP 2 是 AP 的最小值， ∵AE=√22 + 12=√5，P 2E=1，∴AP2=√5－1．故答案为：√5－1． 2. 如图，已知直线 y= 3 4 x+3 与坐标轴分别交于 A、B 两点，M 是以 C（6，0）为 圆心，2 为半径的圆上一动点，连接 MA、MB，则△MAB 面积的最大值是 ________． 【解】如图，过点 C 作 CD⊥AB 垂足为 D，延长 DC 交圆 C 与点 M． ∵将 x=0 代入 y= 3 4 x+3 得；y=3，∴点 B 的坐标为（0，3）．∴OB=3． ∵将 y=0 代入 y= 3 4 x+3 得； 3 4 x+3=0，解得：x=-4．∴点 A 的坐标为（-4，0）． ∴OA=4． 在 Rt△ABO 中，AB=√𝑂𝐴2 + OB2=5．∵点 C 的坐标为（6，0），∴AC=10． ∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠AOB=90°．又∵