冲刺小练习15：折线段最值－－－将军饮马问题（提高型）-2023年中考数学冲刺模块小练习

冲刺小练习 15：折线段最值－－－将军饮马问题（提高型） 知识要点：利用全等来转移线段，化折为直 1.如图 1，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，点 E、F 分别为边 AB、CD 上的动点， 且 AE=CF，则 BF+CE 的最小值为 ． 图 1 图 2 2.(2019年成都)如图 2，在边长为 1 的菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，将△ABD 沿射线 BD的 方向平移得到△A′B′D′，分别连接 A′C，A′D，B′C，则 A′C+B′C的最小值 为 ． 3.如图 3，菱形 ABCD 的边长为 1，∠ABC=60°．E，F 分别是 BC，BD 上的动 点，且 CE=DF，则 AE+AF 的最小值为 ． 图 3 图 4 4.（2022•遵义）如图，在等腰直角三角形 ABC中，∠BAC=90°，点 M，N 分别为 BC，AC上 的动点，且 AN=CM，AB=√2．当 AM+BN的值最小时，CM的长为 ． 5.如图 5，在等边三角形 ABC 中，AD⊥BC，BC=4，点 E、F 分别是 AD、AC 上的 动点，且 AE=CF，则 BF+CE 的最小值为 ． 6.如图 1，在△ABC 中，AB=AC，点 E 为边 AB 上一点，连接 CE． （1）如图 1，以 CE 为边作等腰三角形 DCE，DE=DC，连接 AD，且满足条件 AB⊥ AD，∠B=∠ADE，∠ACD=3∠B，求证：DE⊥DC． （2）如图 2，∠BAC=120°，过点 A 作直线 AM⊥BC 交 BC 于点 M，点 F 为直线 M 上一点，BE=AF，连接 CF，当 CE+CF 最小时，直接写出∠ECF 的度数． 冲刺小练习 15：折线段最值－－－－－将军饮马问题（提高型利用全等转移线段） 1.如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，点 E、F 分别为边 AB、CD 上的动点，且 AE=CF，则 BF+CE 的最小值为 ． 【解】如图，连接 DE，∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB=CD， ∵AE=CF，∴BE=DF，∴四边形 BEDF 是平行四边形，∴DE=BF， 要求 BF+CE 的最小值，即求 DE+CE 的最小值， 作 D 点关于 AB 的对称点 D′，连接 D′C 交 AB 于 E， 则 DE+CE=D′E+CE=CD′的值最小， ∵AB=2，AD=3，∴CD=AB=2，DD′=2AD=6， ∴CD′=√DD′ 2 + CD2=√62 + 22=2√10，即 BF+CE 的最小值为 2√10， 故答案为：2√10． 2.(2019年成都)如图，在边长为 1的菱形 ABCD中，∠ABC=60°，将△ABD沿射线 BD 的方 向平移得到△A′B′D′，分别连接 A′C，A′D，B′C，则 A′C+B′C的最小值 为 ． 【解】∵在边长为 1 的菱形 ABCD中，∠ABC=60°，∴AB=CD=1，∠ABD=30°， ∵将△ABD 沿射线 BD的方向平移得到△A'B'D'， ∴A′B′=AB=1，A′B′∥AB，∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠BAD=120°，∴A′B′=CD，A′B′∥CD， ∴四边形 A′B′CD 是平行四边形，∴A′D=B′C， ∴A′C+B′C的最小值=A′C+A′D的最小值， ∵点 A′在过点 A且平行于 BD的定直线上， ∴作点 D 关于定直线的对称点 E，连接 CE 交定直线于 A′， 则 CE 的长度即为 A'C+B'C的最小值，∵∠A′AD=∠ADB=30°，AD=1， ∴∠ADE=60°，DH=EH= 1 2 AD= 1 2 ，∴DE=1，∴DE=CD， ∵∠CDE=∠EDB′+∠CDB=90°+30°=120°， ∴∠E=∠DCE=30°，∴CE=2× √3 2 CD=√3．故答案为：√3． 3.如图，菱形 ABCD 的边长为 1，∠ABC=60°．E，F 分别是 BC，BD 上的动点， 且 CE=DF，则 AE+AF 的最小值为 ． 【解】如图，连接 AC，过点 C 作 CT⊥CA，使得 CT=AD=1，连接 AT． ∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB=CB=CD=AD，∠ABC=∠ADC=60°，∠ADB= 1 2 ∠ ADC=30°， ∴△ABC