冲刺小练习14：折线段最值－－－将军饮马问题（基础型）-2023年中考数学冲刺模块小练习

冲刺小练习 14：折线段最值－－－将军饮马问题（基础型） ➢ 图态剖析 “两定一动型”－－－－－－两个定点+一个动点 如图，A，B是直线 L同侧的两个定点，在直线 L 上求作一点 P，使 PA+PB 的值最小 口诀：一对称、二连接、三计算 【小结】化折为直，两点线之间，线段最短 ➢ 典型练习 1.如图 1，在△ABC 中，已知 BC=5，S△ ABC=6，∠C=30°，EF 垂直平分 BC，点 P 为直线 EF 上一动点，则 AP+BP 的最小值是 ． 图 1 图 2 2.如图 2，在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D为 BC的中点，AD=2√5，若 P为 AB上一个动点，则 PC+PD的最小值为 ． 3.如图 3，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，点 D 是 BC 上一动 点，以 BD 为边在 BC 的右侧作等边△BDE，F 是 DE 的中点，连接 AF，CF，则 AF+CF 的最小值是 ． 图 3 4.如图 4，在等腰三角形 ABC中，∠ACB=90°，BC=4，点 D在 AC上，AD= 1 3 AC，点 E是斜边 AB上一动点，连接 DE，EF⊥AC 于 F，EG⊥BC 于 G，则 DE+FG的最小值为 ． 图 4 图 5 5.如图 5，已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是 AB 边上一动点，连接 ED，将 ED 绕点 E 顺时针旋转 90°到 EF，连接 DF，CF，则 DF+CF 的最小值是 ． 6.如图，在▱ABCD 中，点 E 是 AD 边上一点，连接 BE、CE，BE=CE，BE⊥CE，点 F 是 EC 上一动点，连接 BF． （1）如图 1，若点 F 是 EC 的中点，BF=√10，求▱ABCD 的面积； （2）如图 2，当 BF⊥AB 时，连接 DF，求证：AB+DF=BF； （3）如图 3，以 BF 为直角边作等腰 Rt△FBG，∠FBG=90°，连接 GE，若 DE=√2，CD=√5，当点 F 在运动过程中，请直接写出△BEG 周长的最小值． 冲刺小练习 14：折线段最值－－－－－将军饮马问题（基础型两定一动） ➢ 图态剖析 “两定一动型”－－－－－－两个定点+一个动点 如图，A，B是直线 L同侧的两个定点，在直线 L 上求作一点 P，使 PA+PB 的值最小 口诀：一对称、二连接、三计算 【小结】化折为直，两点线之间，线段最短 ➢ 典型练习 1.如图，在△ABC 中，已知 BC=5，S△ ABC=6，∠C=30°，EF 垂直平分 BC，点 P 为 直线 EF 上一动点，则 AP+BP 的最小值是 ． 【解】如图，连接 PC，过点 A 作 AH⊥BC 于 H． ∵EF 垂直平分 BC，∴B、C 关于 EF 对称，∴PB=PC， ∵PA+PB=PA+PC≥AC，∴PA+PB 的最小值为线段 AC 的长， ∵𝑆△ABC= 1 2 •BC•AH=6，∴AH= 12 5 ，∵∠ACB=30°，∴AC=2AH= 24 5 ， ∴PA+PB 的最小值为 24 5 ，故答案为： 24 5 ． 2.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D 为 BC 的中点，AD=2√5，若 P为 AB上一个动点，则 PC+PD的最小值为 ． 【解】如图，作点 D 关于 AB的对称点 E，连接 PE，BE， 则 DB=EB，DP=EP，∠ABC=∠ABE=45°，∠CBE=90°， ∵D 是 BC 的中点，∴BD= 1 2 BC=2，∴BE=2，∵PC+PD=PC+PE， ∴当 C，P，E 在同一直线上时，PC+PE 的最小值等于 CE的长，此时，PC+PD 最小， ∵AC=BC=4，D 为 BC 的中点，∴CD=DB=BE， 又∵∠ACD=∠CBE=90°，∴△ACD≌△CBE（SAS）， ∴CE=AD=2√5，∴PC+PD的最小值为 2√5． 故答案为：2√5． 3.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，点 D 是 BC 上一动 点，以 BD 为边在 BC 的右侧作等边△BDE，F 是 DE 的中点，连接 AF，CF，则 AF+CF 的最小值是 ． 【解】如图，以 BC 为边作等边三角形 BCG，连接