冲刺小练习13：几何问题中的夹角定位法-2023年中考数学冲刺模块小练习

冲刺小练习 13：几何问题中的夹角定位法 ➢ 知识指引 初中阶段的动点轨迹问题一般多为直线型轨迹问题或圆弧型动点轨迹，如何准确确定动点 所在的轨迹为难点，下面我们将利用“夹角定位法”来进行确定动点产生的直线轨迹的位 置 ➢ 知识补充：“夹角定位法” 所谓的 “夹角定位法” 是指：在平面内，过定点并且与定直线的夹角为定值的点在直线 上运动，如图，已知直线 1 与定点 A， 动点 B 运动的轨迹为直线 AB，当直线 AB 与直线 L 的夹角α一定时，则动点 B 的运动轨迹线即为定直线 AB . ➢ 典型练习 1.如图 1，在矩形 ABCD 中，AB=7，BC=7√3，点 P 在线段 BC 上运动（含 B、C 两 点），连接 AP，将线段 AP 绕着点 A 逆时针旋转 60°得到 AQ，连接 DQ，则线段 DQ 的最小值为 图 1 图 2 图 3 2.如图 2，在矩形 ABCD 中，AB=15，AD=10，点 P 是 AB 边上任意一点（不与 A 点重合），连接 PD，以线段 PD 为直角边作等腰直角△DPQ（点 Q 在直线 PD 右 侧），∠DPQ=90°，连接 BQ，则 BQ 的最小值为 ． 3．（2022•广州）如图 3，在矩形 ABCD 中，BC=2AB，点 P 为边 AD 上的一个动 点，线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60°得到线段 BP′，连接 PP′，CP′．当点 P′落在边 BC 上时，∠PP′C 的度数为 ；当线段 CP′的长度最小时，∠ PP′C 的度数为 ． 4.如图 4，长方形 ABCD 中，AB=3，BC=4，E 为 BC 上一点，且 BE=1，F 为 AB 边 上的一个动点，连接 EF，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转 45°到 EG 的位置，连接 FG 和 CG，则 CG 的最小值为 ． 图 4 图 5 图 6 5.如图 5，已知△ABC为直角三角形，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=4，D 是直线 AB 上一 点．以 CD 为斜边作等腰直角三角形 CDE，则 AE 的最小值为 ． 6.如图 6，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=6，D 是 AB 上一个动点，以 DC为斜边 作等腰直角△DCE，使∠CED=90°，点 E和点 A 位于 CD的两侧，连接 BE，则 BE 的最小值 为 ． 7. （2022•衡阳）如图，在菱形 ABCD 中，AB=4，∠BAD=60°，点 P 从点 A 出 发，沿线段 AD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动，过点 P 作 PQ⊥AB 于 点 Q，作 PM⊥AD 交直线 AB 于点 M，交直线 BC 于点 F，设△PQM 与菱形 ABCD 重 叠部分图形的面积为 S（平方单位），点 P 运动时间为 t（秒）． （1）当点 M 与点 B 重合时，求 t 的值； （2）当 t 为何值时，△APQ 与△BMF 全等； （3）以线段 PQ 为边，在 PQ 右侧作等边三角形 PQE，当 2≤t≤4 时，求点 E 运 动路径的长． 冲刺小练习 13：几何问题中的夹角定位法 ➢ 知识指引 初中阶段的动点轨迹问题一般多为直线型轨迹问题或圆弧型动点轨迹，如何准确确定动点 所在的轨迹为难点，下面我们将利用“夹角定位法”来进行确定动点产生的直线轨迹的位 置 ➢ 知识补充：“夹角定位法” 所谓的 “夹角定位法” 是指：在平面内，过定点并且与定直线的夹角为定值的点在直线 上运动，如图，已知直线 1 与定点 A， 动点 B 运动的轨迹为直线 AB，当直线 AB 与直线 L 的夹角α一定时，则动点 B 的运动轨迹线即为定直线 AB . ➢ 典型练习 1.如图，在矩形 ABCD 中，AB=7，BC=7√3，点 P 在线段 BC 上运动（含 B、C 两点）， 连接 AP，将线段 AP 绕着点 A 逆时针旋转 60°得到 AQ，连接 DQ，则线段 DQ 的最 小值为 【解】如图，以 AB 为边作等边△ABE，过点 D 作 DH⊥QE 于 H， ∴AB=AE，∠BAE=60°， ∵将线段 AP 绕着点 A 逆时针旋转 60°得到 AQ，∴AP=AQ，∠PAQ=60°， ∴∠BAP=∠EAQ， 在△ABP 和△AEQ 中，{ AB＝AE， ∠BAP＝∠EAQ， AP＝AQ， ∴△ABP≌△AEQ（SAS）， ∴∠AEQ=∠ABP