冲刺小练习12：单线段最值－－－构造全等结合三边关系求线段最值-2023年中考数学冲刺模块小练习

冲刺小练习 12：单线段最值－－－构造全等结合三边关系求线段最值 ➢ 图态剖析 【解题策略】结合已知定长线段，利用共点等长线段构造全等转移线段，结合三角形的三 边关系，找出最值时的特殊位置，处理线段最值问题. ➢ 典型练习 类型一:构造全等处理线段的最小值 1.如图 1，在正方形 ABCD 中，AB=4，O 是 BC 边的中点，点 E 是正方形内一动 点，OE=2，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90°得 DF，连接 AE、CF．则 线段 OF 长的最小值为 ． 图 1 图 2 2.如图 2，点 O 为原点，⊙O 的半径为 1，点 A 的坐标为（2，0），动点 B 在 ⊙O 上，以 AB 为边作等边△ABC（顺时针），则线段 OC 的最小值为 ． 3.如图 3，已知 AB=6，点 O 在线段 AB 上，AO=2，⊙O 的半径为 1．点 P 是⊙O 上一动点，以 BP 为一边作等边△BPQ，则 AQ 的最小值为 ． 类型二:构造全等处理线段的最大值 1．如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°,AC=BC 点 P 为△ABC 外一点，CP=√2， BP=3，则 AP 的最大值是 ． 图 1 图 2 2. 如图 2，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，3），P点是以点 A 为圆心、2为半径的圆 上的任意动点，以 OP为直角边作等腰直角△OPQ，且点 Q 在第二象限，求 AQ的最大值与最 小的和为 ． 3. 问题背景： 如图 1，点 C 为线段 AB 外一动点，且 AB=AC=2，若 BC=CD，∠BCD=60°，连接 AD，求 AD 的最大值． 解决方法： 以 AC 为边作等边△ACE，连接 BE，推出 BE=AD，当点 E 在 BA 的延长线上时，线 段 AD 取得最大值 4． 问题解决： 如图 2，点 C 为线段 AB 外一动点，且 AB=AC=2，若 BC=CD，∠BCD=90°，连接 AD，当 AD 取得最大值时，∠ACD 的度数为 ． 冲刺小练习 12：单线段最值-----构造全等结合三边关系求线段最值 ➢ 图态剖析 【解题策略】结合已知定长线段，利用共点等长线段构造全等转移线段，结合三角形的三 边关系，找出最值时的特殊位置，处理线段最值问题. ➢ 典型练习 类型一:构造全等处理线段的最小值 1.如图，在正方形 ABCD 中，AB=4，O 是 BC 边的中点，点 E 是正方形内一动 点，OE=2，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90°得 DF，连接 AE、CF．则 线段 OF 长的最小值为 ． 【解】如图，连接 DO，将线段 DO 绕点 D 逆时针旋转 90°得 DM，连接 OF，FM， OM， ∵∠EDF=∠ODM=90°，∴∠EDO=∠FDM， 在△EDO 与 FDM 中，{ DE＝DF， ∠EDO＝∠FDM， DO＝DM， ∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM=OE=2， ∵正方形 ABCD 中，AB=4，O 是 BC 边的中点，∴OC=2，∴OD=√42 + 22=2√5， ∴OM=√（2√5） 2 +（2√5） 2 =2√10， ∵OF+MF≥OM，∴OF≥2√10-2，∴线段 OF 长的最小值为 2√10-2． 故答案为：2√10-2． 2.如图，点 O 为原点，⊙O 的半径为 1，点 A 的坐标为（2，0），动点 B 在⊙O 上，以 AB 为边作等边△ABC（顺时针），则线段 OC 的最小值为 ． 【解】如图，连接 OB，以 OB 为边作等边△BOE， ∵△ABC，△BOE 都是等边三角形，∴BC=AB，OB=BE，∠ABC=∠EBO=60°， ∴∠CBO=∠EBA，且 BC=AB，BE=BO，∴△BCO≌△BAE（SAS），∴OC=AE， 在△AOE 中，AE＞|AO-OE|，∴当点 E 在线段 AO 时，AE 的最小值为 1， ∴OC 的最小值为 1，故答案为：1 3.如图，已知 AB=6，点 O 在线段 AB 上，AO=2，⊙O 的半径为 1．点 P 是⊙O 上 一动点，以 BP 为一边作等边△BPQ，则 AQ 的最小值为 ． 【解】如图，以 BO 为边作等边△BOC，连接 CQ，AC， ∵△BOC 和△BPQ 都是等边三角形， ∴∠OBC=∠PBQ，OB=BC，