冲刺小练习11：单线段最值－－－利用三边关系求线段的最小值-2023年中考数学冲刺模块小练习

冲刺小练习 11：单线段最值－－－利用三边关系求线段的最小值 ➢ 图态剖析 如图，在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即|𝑎 − 𝑏| ≤ 𝑐 ≤ 𝑎 + 𝑏， 当 A，B，C三点共线时，c的最大值为 a＋b，最小值为|𝑎 − 𝑏|. 【解题策略】结合已知定长线段，利用三角形的三边关系，找出最大值时的特殊位置，线 段之差最大问题. ➢ 典型练习 1.如图，在平面直角坐标系中，C（0，4），A（3，0），⊙A 半径为 2，P 为⊙ A 上任意一点，E 是 PC 的中点，则 OE 的最小值是（ ）. A．1 B． 3 2 C．2 D．√2 图 1 图 2 2.如图 2，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=12，点 D 为线段 AB 上一 点，且 BD=5AD，点 E 是线段 AC 上的动点，DE⊥DF 交 BC 所在直线于点 F，连接 EF，则 EF 的最小值是（ ）. A．6 B．10 C．2√19 D．3√3 3.如图，圆与坐标轴分别交于原点 O，点 A（6，0）和 B（0，2），点 P 是圆上 一个动点，点 C（0，－3），则 PC 长度的最小值为（ ） A．4√2 − √10 B．8√2 − √10 C．2√5 − √10 D．5－√10 4.如图 4，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=4．点 D 是平面内一点，CD=2， 连接 BD，点 M 是线段 BD 的中点，连接 AM，则 AM 的最小值为 ． 图 4 图 5 图 6 5.如图 5，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，D 为 BC 边上的三等分点， BD=2CD，E 为 AB 边上一动点，将△DBE 沿 DE 折叠到△DB'E 的位置，连接 AB'， 则线段 AB'的最小值为 ． 6. （2020 年镇江市）如图 6，在△ABC 中，BC=3，将△ABC 平移 5 个单位长度 得到△A 1B1C 1，点 P、Q 分别是 AB、A1C1 的中点，PQ 的最小值等于 ． 7.如图，△ABC 内接于⊙O，BC 为⊙O 的直径，D 在弧 AC 上，AC 与 BD 相交于点 E． （1）若 AC=BD，求证：EA=ED； （2）若 AB=4，BC=4√3，AF⊥BD，垂足为 F，求 CF 的最小值． 冲刺小练习 11：单线段最值－－－利用三边关系求线段的最小值 ➢ 图态剖析 如图，在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即|𝑎 − 𝑏| ≤ 𝑐 ≤ 𝑎 + 𝑏， 当 A，B，C三点共线时，c的最大值为 a＋b，最小值为|𝑎 − 𝑏|. 【解题策略】结合已知定长线段，利用三角形的三边关系，找出最大值时的特殊位置，线 段之差最大问题. ➢ 典型练习 1.如图，在平面直角坐标系中，C（0，4），A（3，0），⊙A 半径为 2，P 为⊙ A 上任意一点，E 是 PC 的中点，则 OE 的最小值是（ ）. A．1 B． 3 2 C．2 D．√2 【解】如图，连接 AC，取 AC 的中点 H，连接 EH，OH． ∵CE=EP，CH=AH，∴EH= 1 2 PA=1，∴点 E 的运动轨迹是以 H 为圆心半径为 1 的 圆，∵C（0，4），A（3，0），∴H（1.5，2），∴OH=√12 + 1.52=2.5， ∴OE 的最小值=OH－EH=2.5－1=1.5，故选：B. 2.在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=12，点 D 为线段 AB 上一点，且 BD=5AD，点 E 是线段 AC 上的动点，DE⊥DF 交 BC 所在直线于点 F，连接 EF，则 EF 的最小值是（ ）. A．6 B．10 C．2√19 D．3√3 【解】如图，取 EF 的中点 O，连接 OC，OD，CD，过点 C 作 CG⊥AB 于点 G，如 图所示： ∵∠ACB=90°，ED⊥FD，∴OC=OD= 1 2 EF， 当 O 与 D，C 共线时，此时 EF 最小，即为 CD 的值， ∵∠CAB=30°，AB=12，∴BC=6，∠ABC=60°， ∴BG=3，CG=3√3，∵BD=5AD，∴BD=10，∴DG=10－3=7， 在 Rt△CDG 中，D