冲刺小练习10：单线段最值－－－利用三边关系求线段的最大值-2023年中考数学冲刺模块小练习

冲刺小练习 10：单线段最值－－－利用三边关系求线段的最大值 ➢ 图态剖析 如图，在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即|𝑎 − 𝑏| ≤ 𝑐 ≤ 𝑎 + 𝑏， 当 A，B，C三点共线时，c的最大值为 a＋b，最小值为|𝑎 − 𝑏|. 【解题策略】结合已知定长线段，利用三角形的三边关系，找出最大值时的特殊位置，线 段之差最大问题. ➢ 典型练习 1.如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，将△ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到 △A'B'C，M 是 BC 的中点，P 是 A'B'的中点，连接 PM．若 BC=4，∠BAC=30°， 则线段 PM 的最大值是 ． 图 1 图 2 2.如图 2，将边长为 2 的正方形 ABCD 绕顶点 C 逆时针旋转得到正方形 A′B′C′D′，P 是 CD 的中点，Q 是对角线 B′D′的中点，则旋转过程中 PQ 的最大值为 3. 如图 3，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=4，点 O 是 AB 的中点，以 BC 为直角 边向外作等腰 Rt△BCD，连接 OD，当 OD 取最大值时，则∠ODB 的度数是 ． 图 3 图 4 4.如图 4，已知一次函数 y＝− 4 7 x+4 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， 点 C 是坐标平面内一动点，且 BC=3，连接 AC，若点 D 为线段 AC 的中点，连接 OD，则线段 OD 的最大值是 ． 5. 如图 5，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4．D 为△ABC 所在平面内的一个动 点，且满足∠BDC=90°，E为线段 AD 的中点，连接 CE，则线段 CE长的最大值为 ． 图 5 图 6 6．如图 6，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点 D 是以点 A 为圆心、4 为半径的圆上一点，连接 BD，点 M 为 BD 中点，则线段 CM 长度的最大值 为 ． 7.（2022•大名县三模）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2，将△ACB 绕点 C 按逆时针方向旋转得到△DCE．连接 DA、BE，直线 DA、BE 交于点 F，连 接 CF． （1）DA 与 EB 的等量关系是： ； （2）在旋转过程中，线段 CF 的最大值是 ． 冲刺小练习 10：单线段最值-----利用三边关系求线段的最大值 ➢ 图态剖析 如图，在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即|𝑎 − 𝑏| ≤ 𝑐 ≤ 𝑎 + 𝑏， 当 A，B，C三点共线时，c的最大值为 a＋b，最小值为|𝑎 − 𝑏|. 【解题策略】结合已知定长线段，利用三角形的三边关系，找出最大值时的特殊位置，线 段之差最大问题. ➢ 典型练习 1.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，将△ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到 △A'B'C，M 是 BC 的中点，P 是 A'B'的中点，连接 PM．若 BC=4，∠BAC=30°， 则线段 PM 的最大值是 ． 【解】如图，连接 PC， 在 Rt△ABC 中，∠A=30°，BC=4，∴AB=8， 根据旋转不变性可知，A′B′=AB=8，∴A′P=PB′=PC′，∴PC= 1 2 A′B′=4， ∵CM=BM=2，又∵PM≤PC+CM，即 PM≤6， ∴PM 的最大值为 6（此时 P、C、M 共线）． 2.如图，将边长为 2 的正方形 ABCD 绕顶点 C 逆时针旋转得到正方形 A′B′C′D′，P 是 CD 的中点，Q 是对角线 B′D′的中点，则旋转过程中 PQ 的最大值为 【解】如图，连接 CQ， ∵正方形 ABCD 绕顶点 C 逆时针旋转得到正方形 A′B′C′D′， ∴B′C=CD′=2，∠B′CD′=∠BCD=90°，∴B′D′=√2B′C=2√2， ∵Q 是对角线 B′D′的中点，∴CQ= 1 2 B′D′=√2， ∵P 是 CD 的中点，∴PC= 1 2 CD=1， ∵PQ≤CQ+CP（当且仅当 C、P、Q 共线时取等号），∴PQ 的最大值为√2+1． 3. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=4，点 O 是 AB 的中点，以 BC 为直角边 向外作等腰 Rt△BCD，