冲刺小练习09：直线型轨迹下的单线段最值－－－垂线段最短-2023年中考数学冲刺模块小练习

冲刺小练习 9：直线型轨迹下的单线段最值－－－垂线段最短 ➢ 知识指引 近些年考试中有关全等的的压轴题往往会涉及到动点的运动型直线轨迹类问题，考点多涉 及求动点在特定条件下的运动路径长或依据路径轨迹来求出相应的最值，很多考生碰到此 类试题常常无所适从，不知该从何下手，下面我们就初中阶段所谓的“直线型轨迹”问题 进行一个研究． ➢ 旋转型全等图态剖析（以旋转 90°为例） 如图，A是定点，P 在直线 BC上运动，作等腰直角三角形 APQ，∠PAQ=90°（此处可以看 作点 P绕点 A 逆时针旋转 90°） 说明：主动点 P在直线 BC上运动，从动点 Q 在直线 B′C′上运动 ➢ 典型练习 1.如图，在等边三角形 ABC，边长为 4，动点 D 从点 B 出发，沿射线 BC 方向移 动，以 AD 为边在右侧作等边△ADE，取 AC 中点 F，连接 EF，当 EF 的值最小 时，BD= ． 图 1 图 2 2.如图 2，在平面直角坐标系中，已知点 A的坐标为（0，6√3），△ABO为等边三角形，P 是 x 轴上的一个动点，将线段 AP 绕 A 点按逆时针方向旋转 60°，P点的对应点为点 Q．连 接 OQ，则 OQ最小值是 ． 3.如图 3，在边长 4√3的等边三角形 ABC 中，点 D 为 BC 上一点，且 BD=√3，点 E 为 AB 边上的一个动点，点 E 绕点 D 顺时针旋转 60°得到点 F，则 AF 的最小值 为 ． 图 3 图 4 图 5 4.如图 4，△ABC 是等边三角形，直线 MN⊥AC 于点 C，点 D 在直线 MN上一动点，以 AD为 边向右作等边三角形 ADE，连结 CE，已知 AB=12，则 CE的最小值是 ． 5.如图 5，等边△ABC 中，BC=16，M 为 BC 的中点，P 为△ABC 内一动点， PM=2，连接 AP，将线段 AP 绕点 P 顺时针旋转 60°得 PQ，连接 MQ，则线段 MQ 的最小值为 ． 6.如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，0），以线段 OA 为一边在 x 轴上方作等边△OAB．C 是 x 轴上一点，连接 BC，将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到线段 BD，连接 AD，CD． （1）当点 C 在线段 OA 的延长线上时． （ⅰ）求证：△OBC≌△ABD； （ⅱ）若 AD=2AC，求线段 CD 的长； （2）若点 E 的坐标为（0，√3），连接 ED，试问线段 ED 的长是否存在最小 值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 冲刺小练习 9：直线型轨迹下的单线段最值-------垂线段最短 ➢ 知识指引 近些年考试中有关全等的的压轴题往往会涉及到动点的运动型直线轨迹类问题，考点 多涉及求动点在特定条件下的运动路径长或依据路径轨迹来求出相应的最值，很多考生碰 到此类试题常常无所适从，不知该从何下手，下面我们就初中阶段所谓的“直线型轨迹” 问题进行一个研究． ➢ 旋转型全等图态剖析（以旋转 90°为例） 如图，A是定点，P 在直线 BC上运动，作等腰直角三角形 APQ，∠PAQ=90°（此处可 以看作点 P绕点 A 逆时针旋转 90°） 说明：主动点 P在直线 BC上运动，从动点 Q 在直线 B′C′上运动 ➢ 典型练习 1.如图，点 A（0，2）在 y 轴上，B 是 x 轴上的动点，将线段 AB 绕点 A 逆时针 旋转 60°得线段 AC，则 OC 长的最小值为（ ）. A.1 B.2 C. 2√3 3 D. √3 3 【解】如图，以 AO 为边作等边三角形 AOD，连接 BD，OC，或点 D 作 DH⊥x 轴于 H. ∵将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 60°得线段 AC，∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵△AOD 是等边三角形，∴AD=AO，∠DAO=60°，∴∠DAB=∠OAC， 在△DAB 和△OAC 中，{ AD＝AO， ∠DAB＝∠OAC， AB＝AC， ∴△DAB≌△OAC（SAS），∴BD=OC， 根据“垂线段最短”知 BD 的最小值为 DH 的长， ∵点 A（0，2），∴OA=2，∴OD=OA=2，∵∠DOH=∠AOH-∠DOH=30°， ∴DH= 1 2 OD=1，∴OC 长的最小值为 1， 故选：A． 2.如图，在等边三角形 ABC，边长为 4，动点 D 从点