冲刺小练习03：等腰三角形的分类-2023年中考数学冲刺模块小练习

冲刺小练习 3：等腰三角形的分类 ➢ 知识说明 对于等腰三角形的存在性问题，在未指明腰与底的情况下，要区分所给线段是 作为等腰三角形的要还是底；在为指明顶角或底角的情况下，要区分所给角度 是等腰三角形的顶角还是底角. ➢ 典型练习 1. 如图，在 4×4 的正方形网格中有两个格点 A、B，连接 AB，在网格中再找一 个格点 C，使得△ABC 是等腰直角三角形，满足条件的格点 C 的个数是 个． 2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，CA=CB，点 P 为△ABC 所在平面内一点，且 点 P 与△ABC 的任意两个顶点构成的△PAB、△PBC、△PAC 都是等腰三角形，则 满足条件的点 P 的个数为 个． 3.如图，直线 a,b 交于点 O，∠α=40°，点 A 是直线 a 上的一个定点，点 B 在 直线 b 上运动，且始终位于直线 a 的上方，若以点 O，A，B 为顶点的三角形是 等腰三角形，则∠OAB 的度数为 ． 4.如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（5，0），点 M 的坐标为（0， 4），过点 M 作 MN∥x 轴，点 P 在射线 MN 上，若△MAP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为 ． 5.已知在正方形 ABCD 中，AC=6，点 P 从点 A 出发，沿 AC 方向以每秒 √2个单位的速度向终点 C 运动，同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向以 每秒 1 个单位的速度向终点 B 运动，设点 Q 运动的时间为 t（t＞0）， 当△PQB 为等腰三角形时，t 的值为 ． 6.已知平面直角坐标系中有两点 A（0，1），B（2，0）． （1）若点 C 在 x 轴上，且△ABC 为等腰三角形，这样的点 C 存在，共 有 个． （2）若点 C 在 y 轴上，且△ABC 为等腰三角形，这样的点 C 存在，共 有 个． （3）若点 C 在坐标轴上，且△ABC 为等腰三角形，这样的点 C 存在，共 有 个． 7.在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，BD 是 AC 边上的中线，且 BD=AB=6，点 P 是 线段 BD 上一个动点（点 P 不与点 B、D 重合），连接 AP 并延长交边 BC 于点 Q，连接 DQ． （1）如图①，若∠QAC=15°，求 CQ 的长； （2）如图②，当 DQ⊥AC 时，求证：CQ=2BQ； （3）若△CDQ 是等腰三角形，求 DQ 的长． 冲刺小练习 3：等腰三角形的分类 ➢ 知识说明 对于等腰三角形的存在性问题，在未指明腰与底的情况下，要区分所给线段是 作为等腰三角形的要还是底；在为指明顶角或底角的情况下，要区分所给角度 是等腰三角形的顶角还是底角. ➢ 典型练习 1. 如图，在 4×4 的正方形网格中有两个格点 A、B，连接 AB，在网格中再找一 个格点 C，使得△ABC 是等腰直角三角形，满足条件的格点 C 的个数是 个． 【解】如图：分情况讨论： ①AB 为等腰直角△ABC 底边时，符合条件的格点 C 点有 0 个； ②AB 为等腰直角△ABC 其中的一条腰时，符合条件的格点 C 点有 3 个． 故共有 3 个点， 故填：3 2.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，CA=CB，点 P 为△ABC 所在平面内一点，且点 P 与 △ABC 的任意两个顶点构成的△PAB、△PBC、△PAC 都是等腰三角形，则满足条 件的点 P 的个数为 个． 【解】如图所示， ①做线段 AB 的垂直平分线，然后以 C 为圆心，以 AC 为半径做圆，交 AB 的垂 直平分线于 P 1、P2 两点，则 P1、P 2 两点即为所求； ②以 A 为圆心，以 AC 为半径做圆，交 AB 垂直平分线于 P3 点，则 P 3 即为所求； 所以 P 的个数为 3 综上所述，满足条件的所有点 P 的个数为 3． 故答案为：3． 3.如图，直线 a,b 交于点 O，∠α=40°，点 A 是直线 a 上的一个定点，点 B 在 直线 b 上运动，且始终位于直线 a 的上方，若以点 O，A，B 为顶点的三角形是 等腰三角形，则∠OAB 的度数为 ． 【解】要使△OAB 为等腰三角形分三种情况讨论： ①当 OB 1=AB1 时，∠OAB=∠1=40°； ②当 OA=AB2 时，∠OAB=180°-2×40°=100°； ③当 OA=OB3 时，∠OAB=∠OBA= 1 2 ×（180°-40°）=70°； 综上所述，∠OAB 的度数是 40°或 70°或 100°， 故答案为：4