2023年数学中考备考复习《圆综合压轴题》解答题专题提升训练

2023年春九年级数学中考复习《圆综合压轴题》解答题专题提升训练（附答案） 1．如图，AB为⊙O的直径，D为的中点，过D作DF⊥AB于点E，交⊙O于点F，交弦BC于点G，连接CD，BF． （1）求证：CD＝BF； （2）若AC＝10，BE＝8，求AB的长： （3）在（2）的条件下，P为弧AF上一点，连接BP，CP，CP交直径AB于点H，若△BPH与△CPB相似，求CP的长． 2．已知，△ABC内接于⊙O，点D为BC中点，直径EF经过点D，连接AE． （1）如图1，求证：∠BAE＝∠CAE； （2）如图2，连接OB、AF，∠BOE＝2∠ABC，求证：AF＝2OD； （3）如图3，在（2）的条件下，AE和BC交于点G，若AE＝8DG，△ACG的面积为10，求OB的长． 3．如图1，⊙O的直径AB＝4，C为直径AB下方半圆上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD、BD． （1）判断△ABD的形状，并说明理由； （2）如图2，点F是弧AD上一点，BF交AD于点E，求证：FE•EB＝AE•DE； （3）在（2）的条件下，若AF＝0.8，求FE的长． 4．小高同学在一本数学课外读物上看到一个与圆相关的角——弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），知道了弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 【证明】 在证明时，细心的小高考虑了三种情况，圆心在弦切角∠PAB的一条边上，圆心在弦切角外，圆心在弦切角内．如图1，PA与⊙O相切于点A，AB为直径，当圆心O在AB上时，容易得到∠PAB＝90°，所以弦切角∠PAB＝∠C＝90°．请帮助小高继续解决下面的问题． （1）如图2，PA是⊙O的切线，A为切点，AC为直径，∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C，求证：∠PAB＝∠C． （2）如图3，PA是⊙O的切线，A为切点，∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C．求证：∠PAB＝∠C． 【解决问题】 （3）如图4，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D．直接写出∠CBD与∠CAB的数量关系：　 　． 5．如图1，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，点P以1.5cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以2cm/s的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圆． （1）当t＝1时，⊙M的半径是 　 　cm，⊙M与直线CD的位置关系是 　 　； （2）在点P从点A向点B运动过程中， ①圆心M的运动路径长是 　 　cm； ②当⊙M与直线AD相切时，求t的值． （3）连接PD，交⊙M于点N，如图2，当∠APD＝∠NBQ时，求t的值． 6．如图，等边三角形ABC内接于圆O，点P是劣弧BC上任意一点（不与C重合），连接PA、PB、PC，求证：PB+PC＝PA． 【初步探索】小明同学思考如下：如图1，将△APC绕点A顺时针旋转60°到△AQB，使点C与点B重合，可得P、B、Q三点在同一直线上，进而可以证明△APQ为等边三角形，根据提示，解答下列问题： （1）根据小明的思路，请你完成证明； （2）若圆的半径为4，则PB+PC的最大值为 　 　； （3）【类比迁移】如图2，等腰Rt△ABC内接于圆O，∠BAC＝90°，点P是弧BC上任一点（不与B、C重合），连接PA、PB、PC，若圆的半径为4，试求△PBC周长的最大值． 7．【提出问题】我们知道，点和圆有三种位置关系（如图1）．已知在⊙O中，点A、B、C分别是圆外、圆上、圆内的点，点D、E是⊙O上不与点B重合的任意两点，分别连接AD、AE、BD、BE、CD、CE，如何比较∠A、∠B、∠C的大小关系． 【解决问题】小邕利用已学知识判断∠B和∠C的大小关系，步骤如下： 解：∠B＜∠C，理由如下： 如图2，延长DC与⊙O相交于点F，连接EF，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知∠DFE＝∠B， ∵∠DCE是△CFE的外角， ∴∠DFE+∠CEF＝∠DCE， ∴∠DFE＜∠DCE， ∴∠B＜∠DCE． （1）请参照小邕的解题步骤，比较∠A和∠B的大小关系，并说明理由． 【实践应用】 （2）如图3，海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB＝80°．为了避免轮船P触礁，轮船P所在的位置与两座灯塔A、B的视角∠APB度数的最大值是多少？并说明理由． （3）2022卡塔尔世界杯正在如火如荼的进行中，全民足球热情高涨．因此某校举办了足球比赛，在其中一场比赛中（如图4），甲带球奔向对方球门PQ，当他带球冲到A点时，同伴乙已经冲到B点，同伴丙已经冲到C点．此时有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传