第二部分 专题一 第5讲 导数的综合应用-【创新教程】2023高考数学总复习大二轮教师用书word（新教材）

学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第5讲导数的综合应用 ★[高考定位] 利用导数解决恒成立问题、零点问题、不等式证明、等式等高考的重点和热点，经常以解答题形式出现，难 度较大，常常利用函数的最值或构造新函数来解决， ☐考点析引层级突破 研析热点释疑解惑考点一利用 导数处理不等式恒成立、能成立问题 [例1](2022·张家口一模)已知函数x)=ae2x十(a+bx,gx)=(1十x)nx (1)当a=一b=1时，证明：当x∈(0，+o∞)时，fx)>gx): (2)若对Vx∈(0，十co),都3b∈[一1,0]，使fx)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围. [解](1)当a=-b=1时，fx)=xe 令hx)=e-x+1)>0),则h'()=e-1>0, 所以x)在(0，十∞)上单调递增，且h(0)=0, 所以hx)=e-(x十1)>0，即e>x十1 令px)=x一lnx(>0),则0'(x)=1一1x=X一1x,所以gpx)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，且0 (1)=1,所以x)=x-nx≥1>0， 所以x>nx 所以当x∈(0，+∞)时，有xe>+1)P(十1)nx, 所以当x∈(0，+∞)时，x)Pgx) (2)因为3b∈[-1,0]，使fx)≥gx)恒成立，令b)=em+(a+b)r, 只需b)m≥gc),即aea+ac≥(I十x)nx在x∈(0，十o)上恒成立， 整理得r(eax+l)≥(x+1)nx=nxe血x+1).(. 设Fx)=r(e+1),则F(x)=e(+1)+1,设Hx)=F'c)=ee+1)+1, 又H'(x)=(十2)e,可得>-2时，H′()0，H)单调递增：x-2时，H′(0，Hx)单调递减，因此 当x=-2时，Hx)有最小值H(-2)=1-1e2>0, 所以P(x)在R上单调递增. 所以(*式即F(a)≥Fnx),所以m≥hx,即a≥lnx 设Gx)=nxx,x>0,则Gx)=1-lnxx2,令Gc)=0,解得x=e 当0x<e时，G(xP0,函数Gx)单调递增：当x>e时，G'x)0,函数Gx)单调递减. 所以Gx)m=G(e)=le,所以a≥le 所以实数a的取值范围为f1c),十o). 规律方法》 ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 破解以函数为背景的不等式恒成立问题需要“一构造、一分类”·“一构造”是指通过不等式的同解变形， 构造一个与背景函数相关的函数：“一分类”是指在不等式恒成立问题中，常需对参数进行分类讨论，求出参数 的范围，有时也可以利用分离参数法，即将不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该 函数的最值.一般地，>x)对x∈D恒成立，只需a>xmr；ac)对x∈D恒成立，只需a式x)mim [跟踪训练] (2022厦门质检)已知函数x)=(2+sinx+cosr)e-ax+sinx)(aR). (1)讨论x)的单调性： (2)当x≤0时，x)≥4x十3，求a的取值范围 (1)(x)=(2cosx+2)e*-a(1+cosx)=(cosx+1)(2e*-a), 当a≤0时，cosx+1≥0,2er一a>0,f'()≥0，fx)在R上单调递增： 当a>0时，令2e-a=0,解得x=lna2, 则当x∈alvs4 alcol(-,nfa2)时，f(x)≤0： 当x∈alvs4 alcol(nfa2),+o)时，f(x)≥0： ∴.fx)在avs4 alcol(-o,lnfa2)上单调递减，在avs4 allcol(In f(a2),+o)上单调递增： 综上所述：当a≤0时，x)在R上单调逃增：当a>0时，x)在avs4 alcol(一o,nfa2)上单调递减，在， avs4 alcol(In \f(a2),+o)上单调递增 (2)当x≤0时，由x)≥4x+3,得(2+sinx+cosx)e-ax+sinx)-4r-3≥0， 4g(x)=(2+sinx+cosx)e-a(x+sinx)-4x-3,g(x)=(cos x+1X2er-a)-4, ∴…g0)=0,g′(0)=-2a: ①当a≥0时，g'()=(cosx+1)2e-a)-4≤2(cosx+1)e-4≤4e-4≤0， ∴g)在(-∞，0]上单调递减， ·g()≥g(0)=0,满足题意： ②当a<0时，令hx)=g'(x)=(cosx+1)2e-a)-4, h'(x)=-sinx(2ex-a)+2(cosx+1)e =2(-sinx+cos x+1)ex+asinx =22cos\b\lcl(re\r(22)ex+asin x: 当x∈(-元，0)时，