第二部分 专题一 培优提分1 隐零点问题-【创新教程】2023高考数学总复习大二轮教师用书word（新教材）

品牌书店·知名教辅·正版资源 学科网书城 趣身边的互联网+教辅专家 b。1xxkCOm2 培优提分1隐零点问题 导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”，既能确定其存在，但又无法用显 性的代数进行表达，这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决 问题． ■考点析|层级突破研析热点释疑解惑 考点一不含参函数的隐零点问题 [例1](2022汕头三模)已知函数f(x)=x-2sinx (1)求f(x)在(0，π)的极值； (2)证明：函数g(x)=lnx-f(x)在(0，π)有且只有两个零点． 解：(1)由fx)=x-2snx，得f′(x)=1-2cosx，x∈(0，π)， 令f′(x)=0，得x=π3. 当0xπ3时，Jf′(x)0，此时函数f(x)单调递减， 当π3<x<π时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增， 所以函数f(x)的极小值为favs4acol(f(π3)=π3-3，无极大值。 (2)证明：g(x)=lnx-f(x)=|nx-x+2sinx，x∈(0，π)，则g′(x)=1x-1+2cosx， 令φ(x)=1x+2cosx-1，则φ′(x)=-1x2-2sinx 当x∈(0，π)时，p′(x)=-1x2-2sinx0，则φ(x)在(0，π)上单调递减， ∵φav4a|co1(fπ3)=3πx=0，φavs4ac1fπ2)=2π-1<0， 所以存在x_0∈avs4alcol(f(π2)，使得φ(x_a)=g′(x)=0 当x变化时，g(x)，g′x)变化如下表： 而gavs4ac1(f(π3)=lnπ3-π3+3>0，g(π)=nπ-πn^2-π=2-π-0， 则g(x)>gavs4a1(f(π3)>0，又gaws4alc1(f(π)=|n-π6+1， 令h(x)=lnx-x+1，其中0<x<1， 则h′(x)=1x-1=1-xx>0，所以函数h(x)在(0，1)上单调递增， 则h(x)<h(1)=0，所以Ralvs4alcol(f(π6)=π6-π6+1-0， 由零点存在定理可知，函数g(x)在(0，π)上有两个零点． 规律方法≫ 不含参函数的隐零点问题 独家授权侵权必究 学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 已知不含参函数x),导函数方程(x)=0的根存在，却无法求出，设方程广(x)=0的根为xa,则有： ①关系式f(x)=0成立；②注意确定x的合适范围. [跟踪训练] (2022·甘肃一模)已知函数fx)=x十2ax-(a-2)nx(a∈R),gx)=(亿一1)r-2x-e (1)判断函数)的单调性： (2)当a=1时，关于x的不等式x)十gx)≤一1恒成立，求实数b的取值范围， 解：(1)/x)的定义城为(0，+∞)，求导得：(x)=1-2ax2-a-2x=x2+D2-a口x-2ax2 =0x+200x-a0x2, 若a≤0时，则f(x)>0,此时x)在(0，+∞)单调递增： 若a>0时，则当0a时f(x0,fr)在(0，a)单调递减， 当x>a时，f(xP0,x)在(a,十oo)单调递增。 (2)当a=1时，fx)十gx)=bx+lnx-xe, 由题意b≤e-n-1x在(0，十∞)上恒成立， h(x)=e*-In xx-1x,'()=e-1-In xx2+1x2=x2ex+In xx2, 令x)=x2ex+lnx,则u'(x)=(r2+2x)e+1x>0,所以x)在(0，+∞)上递增， 又1)=e>0,iavs4 alco1(f(12)=e)4-ln2<0,所以x)在alvs4 alco10f(12),1)上有唯-零点o, 由(x)=0,得xoexo=一ln0x0, 当x∈(0，xo)时，x)0,即h'x)0,hw)单调递减：当x∈(x0,十o)时，x)>0即h'(x>0,hx)单调递 增，所以xo)为x)在定义域内的最小值。 h(x)min=h(xo)=exo-In x0x0-1x0. 令kx)=eavs4 alcol(f12)X<1),则方程re=一lnx等价于kx)=k-nx), 文易知x)单调递增，所以x=一lnx,即c=lx, 所以h(x)的最小值hxa)=exa一nx0x0-1x0=1x0--x0x0-1x0=1, 所以b≤1，即实数b的取值范围是（一0,1]， 考点二含参函数的隐零点问题 [例2](2022鹰潭二模)已知函数fx)=2alnx-x+a,g)=avs4 alcol(a-f12)r2-12 (I)当a=1时，求曲线y=fx)在点(e,e)处的切线方程： (2)若函数(x)=x)一gx)有两个不同的零点，求实数a的取值范围. 解：(1)当a=1时，fx)=2nx