第二部分 一天一题·赢在微点10 数列裂项相消法求和,需判结构-【一书三用】2023高考数学（文科）考前冲刺复习用书

第二部分加练必考点一每天加训一点·赢在微点·赢在课下 一天一题 赢在微点 10 数列裂项相消法求和，需判结构 精研一题 深得一法 [典例](2022·新高考1卷)记S为数列{a}的 [解题观摩] 前n项和，已知a1=1, 区是公差为号的等差数列. (1)因为a1=1,所以3=1 (1)求{am}的通项公式： 又三是公差为的等差数列， 所以3=1十m-D =+2 3 [尝试解题] 3 所以S。=m。 因为当≥2时， 利用a,与S的关系求a :am=S-S。-1=n+2 n十1 3 an- 34m-1, 当适挑公式为 所以。1=” fn)an时， 3an(n≥2). 把原递推公式 先转化为园 所以4。=十 =fa以，荐利用 a-1 n-1 n≥2). 气黑乘法求解 所以×a4X…×a-×a= 3 d1 a2 dn-2 an-1 n-1 2 n(n十1D(n≥2)： 2 又a1=I也满足上式， 品忽略验证， 是否满足 所以an=n(m1D(m∈N). 2 (2)证明：因为4，=n十1) 2 所以1三 2 看到此式想 到裂项求和 所以++…+ aa? =2[-)+(合-号)+…+(n马-) (日川-2-2 ∠利用放榈法证不等式 [通性通法]用裂项相消法解题的关键点 (1)判断结构：观察通项的结构，看它是否可以 裂项，能裂项就写出通项裂项后的表达式 (2)写出和式：按通项裂项后的表达式写出和 式，看哪些项能相互抵消. (3)化简整理：计算并整理和式，得到和式的最 :简结果 37 新高考方案系列丛书一书三用数学·文科 全取一类 :2.已知数列{am)满足a1=1,ae+1=2aw十1，n∈N* 1.已知数列{a,}的前n项和Sw=产十n,等比数列： (1)求证数列{am+1)是等比数列，并求数列{am》 {bn}的公比为q(g>1),且b3十b:十=28，b1十2 的通项公式： 是b和的等差中项。 2)设.-16g:e1+1).数列6的前n (I)求{an}和{bn}的通项公式： (2②)令6。=6十白c,的前n项和记为T, 项和为T,求证：<工。< 若2T≥m对一切n∈N”成立，求实数m的 最大值. 38一天一题·赢在微点8 ①-②可得-2T,=3+3++3-n×3*4=3-3 2 1.解：(1)d=2,a1,a-1,a+7成等比数列， nX3+1, ∴a1(a+7)=(a-1)°，即a1(a1十15)=(a1+3),解得a:: 三1， 则T,=-3=34×3 =(2n-1)×3+1+3 4 2 ∴.an=a,+(n-1)d=2n-1. 脚S,=(2m-1)X31+3_n(n+D (2)b.=(-1)+a,=(-1)+1(2m-1), 4 2 ∴.Tn=b十b十…十b1十n=1-3十5-7+…十(4n- !2.解：(1)因为am+1=4a。-4a,(n≥2，n∈N) 3)一(4n-1)=一2m. 所以a,+1-2a.=2a.-4a,-1=2(a。-2a.-1) 2.解：(1)设等差数列的公差为d,a=aau·且S=20, 又周为a:-2a1=4, 到时+释。怡2 所以{a+1一2a.}是以4为首项，2为公比的等比数列. 1d=3, 所以通项公式4。=4或a,=31一5. 所以1一2a=4×2=2度移得号别一会=1 (2)因为公差≠0，由(1)可知a,=3n一5， 数列(a.}中落在区间(3”，3)内的项的项数记为.， 所以学}是以号-号为首项1为公是的等差数列 则3”<3m-5<3,3”+5<n<3+5, 3 3 所以号-号+-1=广名所以a,=(2-12 所以0=(31+1)一(3-1+2)+1=3-1-31. (2)周为T.=1×2"+3×2+5×2+…+(21-1)2-1.① 则T.=(3-3”)+(3-3)+(3-3)+…+(3- : 所以2T=1×2+3×22+5×2+…+(2m-1)2",② 3)=(3+3+3十…+31)-(3”+3+3+…+ ①-②得-T,=1+2+2+…+221+2-(21-1)2"=1+ 3)-33-D-3-1-31-4·3+1 : 8 2 8 21-22-(2m-102", 1-2 3.解：(1)证明：图为2S。=(m+2)(a,一1)， ①： 所以T.=(2m-1D2-2+1+3=(2n-3)2"+3. 当n≥2时，2S.-1=(n+1)(aw-1-1) ②：3.解：(1)证明：因为当≥2时，nS+1-(2n+1)S,+(m+1)· ①-②得，2a,=(n+2)a,-(n+1)a。-1-1. S,-1-1=0,则m(S+1-S)-(n+1)(S.-S1)-1=0, 即a.-(n+1)a。-1=1, 即d+1-(n+1)4,一1=0，当n=1时，国为41一2a1一1= 同安au+1D择片号二 1