第二部分 一天一题·赢在微点13 不规则几何图形,化“新”为“熟”解决-【一书三用】2023高考数学（文科）考前冲刺复习用书

第二部分加练必考点一每天加训一点·赢在微点·赢在课下 成在微13 赢在微点 不规则几何图形，化“新”为“熟”解决 精研一题 续表 [典例]在三棱锥ABCD中，AB=CD=4, 步骤 解题模型 具体内容 AC=BD=AD=BC=3,则该三棱锥的内切球的表 用已知量表示 面积为 ( 新构建的量（用设长方体共顶点的一组棱长分 誓 B.17π c受 n 四面体的棱长 别为x,y,,则vT+y=c [解题观摩]如图，将三棱 表示长方体的 y+e=a,√e+x=b 锥ABCD补形成长方体AHDG 长、宽、高) EBFC,设EC=c,EB=b,EA 正四面体外接球半径即长方体 =4, 第 则a2+b2=16,c2+b2=9,a2+c2=9,解得a= 套公式求解 外接球半径，为√2+y+ 步 b=2√2，c=1,故三棱锥A-BCD的体积V=abc 1a+b+ 2 全取一类 三棱锥ABCD的表面积S=4S△ABC=4× 2×4XV3-2-8v5 :1.已知三棱锥PABC中，△ABC为等边三角形， PA=PB=PC=3,PA⊥PB,则三棱锥PABC 设内切球半径为，则号-号×8,5X,解得 的外接球的体积为 () 7 C.273x D.27元 5· 2.已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则 所以该三棱锥的内切球的表面积为4π× 球O的体积为 () -怎故选A A.S B 3π C. D.l62 3.如图，已知四边形ABCD是边长 深得一法 为1的正方形，MD⊥平面 对于一些直接解答比较麻烦的不规则几何问： ABCD,NB⊥平面ABCD,且 题，往往可以置人熟悉的几何模型（如长方体、正方 MD=NB=1,E为MC的中点， 体、棱柱，棱锥等)来求解，目的是实现模型化，更有 则下列结论不正确的是( 利于理解与解答.比如，三组对棱分别相等的四面 A.平面BCE⊥平面ABN 体，可以放置在对应的长方体中，四面体的外接球： B.MC⊥AN 与长方体的外接球是相同的，示例如下： C.平面CMN⊥平面AMN 已知三组对棱分别相等的四面体ABCD,AB= D.平面BDE∥平面AMN CD=a,AC=BD=b,AD=BC=c,则四面体ABCD4.如图，在六面体ABCFEDG中， 的外接球半径的求法： BG⊥平面ABC,平面ABC∥平 步骤 解题模型 具体内容 面FEDG,AF∥BG,FE∥GD ∠FGD=90°，AB=BC=BG= 将四面体ABCD放置在长方体 中，如图所示 2,四边形AEDC是菱形，侧六面 第 体ABCFEDG的体积为 构建置入模型 步 5.棱长为2的正四面体ABCD的外接球的球心为 O,过点A,B,O的平面截四面体ABCD所得的截 面图形的面积为 412.解析：设圆)半径为r,球O的半径为R .外接球的直径2R=√/（√2）+(2)”+（√2）2=v6, 依题意， 得πr=4π，“.r=2,△ABC为等边三 ∴R=v=专R=x×(9）=6x 2 角形， 4,选A设球O的半径为R,△ABC的外接圈半径为r,则r 由正弦定理可得AB=2rin60=2√3， ,.O0=AB=2√3，根据球的藏面性质， =2,3,固为球心O到平面ABC的距离等于球0半径的号 3 得OO⊥平面ABC. ∴.OO,⊥OA,R=0A=√00+OA=√O+7=4, 所以R一号R=号得R一号即R=写，故D辑说：球0 六球0的体积V=号R=256 的外切正方体的被长b满足=2R=V6,故A正确：所以球O 3 答案： 的表面积S=R=4X受 =6π，故B错误：球O的内接正 3.达C如图所示，可知四校锥P-ABCD为 方体的棱长a满足va=2R=√6，即a=√2，故C错误， 5,选C当蛋黄所成的球是该正四面体的内切球时，接正四 正四棱维，设AC∩BD=E,则球心O在 面休的高有最小值.设此时正四面体的每个面的而积为S。 直线PE上， 高为h,蛋黄所成的球的半径为“，因为内初球的体积为 设PE=h,AB=2a,则AE=√2a, 由勾度定理得OA=OE十AE,即 4 言矿-受，解得一2，由等体积法可得4X名SX=司 4 3 h-31°+2a=9. h,解得h=4r=8. 当四棱维P-ABCD的体积最大时，则点O在线段PE上，则：6.选B如图所示，在四棱维P-ABCD中， h>3, 取侧面△PAB和底面正方形ABCD的外 可设h-3=3cos0v2a=3sin0,共中0<0<受 接回的圈心分别为O1,O,分别过O,O 作两个平面的垂线交于点(O,则由外接球 V=专×4ih=号×9m0X31+cas0)=181- 的性质知，点O即为孩球的琼心，取线段 AB的中点E,连OE,OE,OD,OD,则四边形OEO,O为 cos )(1+cos 0)=18 (1+cos 0)(1-cos 0).