第二部分 一天一题·赢在微点12 球的切、接问题,切点、球心是关键-【一书三用】2023高考数学（文科）考前冲刺复习用书

新高考方案系列丛书一书三用 数学·文科 一天一题 赢在微点 12 球的切、接问题，切点、球心是关键 精研一题 全取一类 [典例] (1)(2021·全四甲卷)已知A,B,C是：1.已知一个棱长为2的正方体玻璃容器内（不计玻 半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC,: 璃的厚度)放置一个正四面体，若正四面体能绕着 AC=BC=1.则三棱锥O-ABC的体积为 ( 它的中心（即正四面体内切球的球心）任意转动， A. B. n 则正四面体棱长的最大值为 () A.23 (2)(2022·新高考I卷)已知正四棱锥的侧棱长： 3 n.2ys C.43 3 D46 3 为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为：2.侧棱长为a的正三棱锥P-ABC的三个侧面都是 36π，且3≤1≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范： 直角三角形，且四个顶点都在同一个球的球面上， 用是 ( 则该球的表面积为 () A[18.] [ A.√2xa2B.2πa2 C.√3πa2 D.3πa2 :3.已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面 c[】 D.[18,27] 上，PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角 形，E,F分别是PA,AB的中点，∠CEF=90°，则 [尝试解题] 球O的体积为 () A.86x B.4w6π C.2√6xD.√6π 4.已知A,B,C三点均在球O的表面上，AB=BC CA=2,且球心O到平面ABC的距离等于球半径 [多维变通] 的号，则下列结论正确的为 () 1.(变条件)本例(1)条件变为正三棱锥SABC的顶点： A.球O的外切正方体的棱长为6 都在球O的球面上，底面△ABC的边长为6，当球O: B.球O的表面积为8π 的体积最小时，三棱锥SABC的体积为 C.球O的内接正方体的棱长为③ 2.(变条件，变设问)已知A,B,C为球O的球面上： 的三个点，⊙O为△ABC的外接圆.若⊙O的： D.球0的半径为号 面积为4π，AB=BC=AC=(O,则球O的体积为：5.端午佳节，人们有包粽子和吃棕子的习俗.四川流 行四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体 3.(变条件，变设问)某四棱锥的底面为正方形，顶点： 广东流行粽子里放蛋黄，现需要在四角状棕子内 在底面的射影为正方形中心，该四棱锥所有顶点都 部放入一个蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，当这 在半径为3的球O上，当该四棱锥的体积最大时， 底面正方形所在平面截球O的截面面积是( 个蛋黄的体积为时，则该正四面体的高的最 A. B.4π C.8π D.9元 小值为 () A.4 B.6 C.8 D.10 深得一法 :6.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为 与球相关的“切”“接”问题的处理策略 4的正方形，平面PAB⊥平面ABCD,且△PAB (1)“切”的处理：解决与球的内切问题主要是指： 为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面 球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，： 积为 () 通过作截面来解决，如果内切的是多面体，则作截： 面时主要抓住多面体过球心的对角面来作， 架 C.32x n (2)“接"的处理：把一个多面体的几个顶点放在：7.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面 球面上即为球的外接问题.解决这类问题的关键是： 上，SC是球O的直径.若平面SCA平面SCB. 抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等 SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9， 于球的半径 则球O的表面积为 40易知T,髓着n的增大而增大，∴2T,≥2T= 3 : 8一（号）广>0得≈0.1004，由（号）≈0.131 故m的最大往为。 (号)≈0.0878，所以n的最大值为5，故造B 2.证明：(1)由a1=2a.+1,得a-1+1=2(a,+1), 4.解析：依题意，得1十a十a十a,十a,十…十a:=a十a十a 即41十1 十a:+a+十dg=a1十a十d:十a,十…十a1e=a4十d: a.+1 =2,且4+1=2 a,十…十aa1=…=a十a2g1=4gg,故为第2022项。 .数列{a.十1}是以2为首项，2为公比的等比数列， 答案：2022 ∴.a.十1=2×2-=2， .数列{an}的通项公式为4.=2”-1(n∈N). 5,解析：依题意a1aa1a,成等比数列，而a,=1,a=2, a (2)由(1)得b,=log:(a.+1+1)=1og(2+1-1+1) =2,所以as=4a:=8.依题意，若4，=a,·别4p+1=a,1 =2m十1. 而山1=a；=1,所以a1=a6,a1=a:,d,=a。,a1=4g,…,以此 1/1 六6b.+(2n+(2m+3z（2市2m+3月 类推，可知数列(a是周期为4的周期数列，所以S:= Sa4x4+t=50