11.1 余弦定理（五大题型）-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019必修第二册）

令学科网 李科网原创，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 11.1余弦定理 【题型归纳目录】 题型一：己知两边及一角解三角形 题型二：己知三边解三角形 题型三：利用余弦定理判断三角形的形状 题型四：余弦定理在实际问题中的应用 题型五：利用余弦定理求最值 【知识点梳理】 知识点一、余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即： a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accos B c2=a2+b2-2abcosC 余弦定理的变形公式： cosA= b2+c2-a2 2be ,cosB=+c 2,cosC=02+b2-c2 2ac 2ab 知识点二、利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角： ②已知三角形的三条边，求其三个角， 知识点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一， 知识点三、解三角形 我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解 三角形. 【典型例题】 题型一：己知两边及一角解三角形 【方法技巧与总结】 己知三角形的两边及一角解三角形的方法 己知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角. 若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边：若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一 元二次方程，解方程求出第三边. 例1.(2023陕西渭南高二统考期末)在aABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利四 李科网原创，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 A=60,c=2,b=1,则a= 【答案】 【解析】已知A=60°，c=2,b=1, 由余弦定理得a2=b+c2-bc=1+22-1×2=3,解得a=V5 故答案为：√ 例2.(2023河南新乡高二校考阶段练习)aABC中，A=60°，a=√万.b=2,则c= 【答案】3 【解析】在△ABC中，根据余弦定理，可得a2=b2+c2-2 bccosA, 由4=60，a=5,b=2,得7=2+c2-4cc0s60°， 即7=4+c2-2c,:c2-2c-3=0,解得：c=-1(舍)或c=3 故答案为：3 例3.(2023春上海闵行高三闵行中学校考开学考试)在4ABC中，cosC=号，4C=4,BC=3,则Ssin4 【答案】 3 【解析】因为在△ABC中，cosC=,4C=4,BC=3 由余弦定理得AB=√AC2+BC-2AC,BC·cosC= /4+32-2×4×3 33, 所以AB=BC,即A=C,则cos4=cosC=名 ，又由sinA+eos2A=1.所以simA= 3 故答案为： 3 变式1.(2023高三课时练习)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知a=3,b-c=2, cosB=-2 则b+c的值为 【答案】12 【解析】由余弦定理可得b2=a2+c2-2 ac cos B,即(2+c=9+c2+3c,解得c=5, 则b=c+2=7,故b+c=12 故答案为：12 变式2.(2023河南驻马店高二校考阶段练习)在△ABC中，若A=120°，AB=√7，BC=√21，则AC= 【答案】√万 2 、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学利阿 李科网原创，让学司更客品！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【解析】因为A=120°，AB=√7，BC=√21， 所以由余弦定理可得cosA=4B+AC_BC即 17+4C2-21 2AB·AC 227,AC 整理得AC2+√万AC-14=0,解得AC=√万（负值舍去） 故答案为：√万 变式3.(2023广西饮州高三校考阶段练习)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,并且a=1, b=√5，A=30,则C的值为 【答案】1或2 【解析】在△ABC中，因为a=1,b=√3，A=30 所以由余弦定理得：a2=b2+c2-2 bccos A, 即：P=5+c2-2xcx5x5台c-3c+2=0, 2 解得：c=1或c=2 当c=1时，a=1,b=√3，A=30°，C=30,B=120满足题意： 当c=2时，Q=1,b=√5，A=30,C=90,B=60°满足题意： 故答案为：c=1或c=2 变式4.(2023高一课时练习)△ABC的三个内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,已知c=3,C=T, 39 a=2b,则b的值为 【答案】 【解折】由c=3cosC=a=2b,根据余弦定理c:+6-2bo:C得：5纺-2