11.1 余弦定理（课件）-高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第二册）

苏教版（2019） 必修第二册 11.1 余弦定理 第11章 解三角形 学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 2023/1/30 2 情境导入 许多实际问题都可以转化为三角形中边与角的计算问题，而边和角分别涉及长度和方向两个要素，这让我们想到数形结合的有力工具——向量. 在△ABC中，有向量等式.从这个等式出发，我们来探索三角形中的边角关系. 2023/1/30 3 探究新知 核心知识点： 余弦定理 如图：因为； 所以 = = = 即 2023/1/30 4 探究新知 核心知识点： 余弦定理 如图同理可得： ； ； 上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 2023/1/30 5 探究新知 综上所述，我们可以得到余弦定理： ； ； ； 余弦定理可以看作勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例. 2023/1/30 6 探究新知 通过变形，余弦定理也可以写成如下形式： ； ； ； 我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形. 2023/1/30 7 重点探究 根据下列条件解三角形（边长精确到0.01，角度精确到0.1°）. （1）已知b=3,c=1,A=60°，求a。 解：（1）由余弦定理，得 ; 。 2023/1/30 8 重点探究 根据下列条件解三角形（边长精确到0.01，角度精确到0.1°）. （2）已知a=4,b=5,c=6，求A。 解：（2）由余弦定理，得 ; 所以 。 2023/1/30 9 重点探究 用余弦定理证明：在中，当C为锐角时，,当C为钝角时，。 证明：当C为锐角时，。 由余弦定理，得：， 即：。 同理可证，当C为钝角时，。 利用余弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题：（1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 2023/1/30 10 重点探究 在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角。 解：∵a>c>b，∴A为最大角. 由余弦定理的推论，得 cos A=. 又∵0°<A<180°，∴A＝120°， ∴最大角A为120°. 2023/1/30 11 重点探究 在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状。 解：由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理， 得a·＋a·＝b＋c， 即＋＝b＋c， 整理，得(b＋c)()＝0. 因为b＋c≠0，所以，故△ABC是直角三角形. 2023/1/30 12 重点探究 【总结】 1.已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 2.已知三角形的三边解三角形的方法:利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角. 3.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线 ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系. ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. 2023/1/30 13 重点探究 4.判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2. ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2. ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2. ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝. 2023/1/30 14 随堂练习 C 15 随堂练习 C 16 随堂练习 A 17 随堂练习 18 随堂练习 19 随堂练习 20 随堂练习 21 随堂练习 22 随堂练习 23 随堂练习 24 随堂练习 25 课堂小结 1.余弦定理的推理. 2.余弦定理解决的两类问题. 谢 谢 ~ 1．在中，，则的最小角为 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知，在中，， 因为，所以的最小角为，所以， 又因为，所以.故选：C. 2．在中，，则的值为（    ） A． B．－ C．－ D． 【答案】C 【详解】解：因为，所以设， 由余弦定理可得.故选：C. 3．在中，若，则该三角形一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】A 【详解】因为，所以由余弦定理得， 所以，所以，因为，所以， 所以为等腰三角形，故选：A 4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，