精品解析：上海市南洋中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题

南洋中学2022学年第一学期高二年级数学期期末 2023.1 一、填空题：（1-8每题3分，9-12每题4分，3分×8+4分×4=40分） 1. 已知直线的一个方向向量，平面α的一个法向量，若，则______． 2. 已知一组样本数据5､2､3､6，则该组数据的第70百分位数为__________． 3. 抛掷一枚均匀的骰子两次，得到的数字依次记作a、b，则实数a是方程的解的概率为_______. 4. 已知一组数据5、6、a、6、8的平均数是7，则其方差为______． 5. 已知圆锥的母线长为，母线与轴的夹角为，则该圆锥的侧面积为_． 6. 如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是______． 7. 如图所示，在三棱锥中，，、分别为与的中点，，则异面直线与所成角的大小是______． 8. 为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品．从这批雪车中随机抽取一辆雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.83，则抽到一等品的概率为______． 9. 在正四棱柱中，对角线，且与底面ABCD所成角的余弦值为，则异面直线与所成角的大小为______． 10. 已知球面上有A，B，C三点，球心到A，B，C所在平面的距离等于球的半径的一半，且，则球的表面积为______． 11. 如图中，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，交BC于点N），则图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体体积为______． 12. 已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、，则的取值范围为________. 二、选择题（4分×4=16分） 13. 已知是两个随机事件，且，则下列选项中一定成立是（ ）． A. B. C. D. 14. 抛三枚均匀的硬币，其中恰好有两枚正面朝上的概率为（ ） A. B. C. D. 15. 军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图（成绩的十位数为“茎”，个位数为“叶”），并给出下列三个结论： ①甲成绩的极差是29；②乙的成绩的中位数是18；③乙的成绩的众数是22． 则三个结论中，正确结论个数为（ ）． A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 16. 如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A、B，AB与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ与直线AB垂直的次数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 三、解答题（6分+8分+8分+10分+12分=44分） 17. 某校高二年级一个班有60名学生，将期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100），得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值； （2）用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则在分数段抽取的人数是多少？ 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，，底面，，为的中点，为的中点． （1）求四棱锥的体积； （2）证明：直线平面． 19. 如图，直三棱柱内接于高为圆柱中，已知，， O为AB的中点． （1）求圆柱的侧面积； （2）求与平面所成角的大小． 20. 佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫等功效．因地方习俗差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目，如图1所示的平行四边形ABCD由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得到图2所示的六面体形状的香囊．若． （1）求图2中六面体的表面积； （2）求二面角的大小． 21. 如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在平面ABC上的投影为AC的中点D，且． （1）求点C到侧面的距离； （2）在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南洋中学2022学年第一学期高二年级数学期期末 2023.1 一、填空题：（1-8每题3分，9-12每题4分，3分×8+4分×4=40分） 1. 已知直线的一个方向向量，平面α的一个法向量，若，则______． 【答案】 【解析】 分析】根据，可得，从而可求得，即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 2. 已知一组样本数据5､2､3