正态分布为背景的概率模型-【三轮冲刺】2023年高考数学热点专题模型通关（概率篇）

正态分布为背景的概率模型 思路引导 1.求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法 (1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值． (2)将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化． (3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果． 2. 母题呈现 【典例1】（2022·安徽滁州·校考模拟预测）为了监控某台机器的生产过程，检验员每天从该机器生产的零件中随机抽取若干零件，并测量其尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这台机器正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．检验员某天从生产的零件中随机抽取个零件，并测量其尺寸（单位：）如下： 将样本的均值作为总体均值的估计值，样本标准差作为总体标准差的估计值． 根据生产经验，在一天抽检的零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为该机器可能出现故障，需要停工检修． (1)试利用估计值判断该机器是否可能出现故障； (2)若一台机器出现故障，则立即停工并申报维修，直到维修日都不工作． 根据长期生产经验，一台机器停工天的总损失额，、、、（单位：元）．现有种维修方案（一天完成维修）可供选择： 方案一：加急维修单，维修人员会在机器出现故障的当天上门维修，维修费用为元； 方案二：常规维修单，维修人员会在机器出现故障当天或者之后天中的任意一天上门维修，维修费用为元． 现统计该工厂最近份常规维修单，获得机器在第天得到维修的数据如下： 频数 将频率视为概率，若机器出现故障，以机器维修所需费用与机器停工总损失额的和的期望值为决策依据，应选择哪种维修方案？ 参考数据：，．参考公式：，． 【解题指导】（1）利用参考数据计算出、的值，可得出、的估计值，可计算得出、的值，结合题中的数据检验可得出结论； （2）设选择方案一、方案二的维修所需费用与机器停工总损失额分别为、元，列举出的分布列，计算出、的值，比较大小后可得出结论. 方法总结 解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0. 模拟训练 1．【与建设成就融合】（2023·安徽淮南·统考一模）年月日时分，搭载空间站梦天实验舱成功发射，并进入预定轨道，梦天舱的重要结构件导轨支架采用了打印的薄壁蒙皮点阵结构.打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术.随着技术不断成熟，打印在精密仪器制作应用越来越多.某企业向一家科技公司租用一台打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.已知这台打印设备打印出品的零件内径（单位：）服从正态分布. (1)若该台打印了件这种零件，记表示这件零件中内径指标值位于区间的产品件数，求； (2)该科技公司到企业安装调试这台打印设备后，试打了个零件.度量其内径分别为（单位：）：、、、、，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？ 参考数据：，，， 2．【与频率分布直方图融合】（2023·全国·模拟预测）某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图．若将日销售额在的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在的加盟店评定为“五星级”加盟店． (1)根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）； (2)若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额，其中近似为（1）中的样本平均数，根据X的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数（结果精确到整数）； (3)该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设Y为抽取的“五星级"加盟店的个数，求Y的概率分布列与数学期望. 参考数据：若，则，，． 3．【与建设成就融合】（2022·广东广州·统考一模）世界卫生组织建议成人每周进行至5小时的中等强度运动.已知社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，且三个社区的居民人数之比为. (1)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该