模型11 手拉手模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

模型介绍 共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下： （1）寻找公共的顶点 （2）列出两组相等的边或者对应成比例的边 （3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。 两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形 *常见结论： 连接BD、AE交于点F，连接CF，则有以下结论： （1） （2） （3） （4） 【专题说明】 两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。 【知识总结】 【基本模型】 一、等边三角形手拉手-出全等 图1 图2 图3 图4 二、等腰直角三角形手拉手-出全等 两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有： ①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE； 图1 图2 图3 图4 手拉手模型的定义：两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。 手拉手模型特点：“两等腰，共顶点” 模型探究： 例题精讲 考点一：等边三角形中的手拉手模型 【例1】．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．有下列结论： ①AD＝BE；②AP＝BQ；③∠AOB＝60°；④DC＝DP；⑤△CPQ为正三角形． 其中正确的结论有_____________. 变式训练 【变式1-1】．如图，，都是等边三角形，则的度数是　　 A． B． C． D． 【变式1-2】．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论： ①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠DAE＝∠DBC．其中正确的有（　　） A．②④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【变式1-3】．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC上，DE与AC交于点F，若AB＝5，BD＝3，则＝　　． 考点二：等腰直角三角形中的手拉手模型 【例2】．如图，和都是等腰直角三角形，，为边上一点，若，，则的长为__________ 变式训练 【变式2-1】．如图，，，连结，分别以、为直角边作等腰和等腰，连结、，当最长时，的长为　　 A． B．3 C． D． 【变式2-2】．如图，在中，，点为中点，点在边上，连接，过点作的垂线，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 　 　（填序号）． 考点三：任意等腰三角形中的手拉手模型 【例3】．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论： 1 ∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论是_____． 变式训练 【变式3-1】．如图，等腰中，，，点为直线上一动点，以线段为腰在右侧作等腰，且，连接，则的最小值为　　 A． B．4 C．6 D．8 【变式3-2】．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为边BC（不含端点）上的任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD，DE，AE．设AC与DE交于点F，则线段CF的最大值为 　　． 【变式3-3】.【问题背景】 （1）如图1，等腰中，，，于点，则　　； 【知识应用】 （2）如图2，和都是等腰三角形，，、、三点在同一条直线上，连接．求证：． （3）请写出线段，，之间的等量关系，并说明理由． 实战演练 1.风筝为中国人发明，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图，小飞在设计的“风筝”图案中，已知，，，那么与相等．小飞直接证明，他的证明依据是