模型20 加权费马点模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

模型介绍 对于费马点问题，大家已经见得比较多了，相信都能熟练解决，如果所求最值中三条线段 的系数有不为1的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，费马点问题属于权为1的特殊 情况. 加权费马点问题解决方法类似，也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不 同的旋转或放缩方法. 【类型一 单系数类】 当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，一种是旋转特殊 角度，一种是旋转放缩. 【类型二 多系数类】 其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的. 经过尝试，我们会发现，以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的，对 于给定的系数，我们该如何选取旋转中心呢？ 我们总结了以下方法： R1. 将最小系数提到括号外； R2. 中间大小的系数确定放缩比例； R3. 最大系数确定旋转中心（例如最大系数在PA前面，就以A为旋转中心），旋转系数不 为1的两条线段所在的三角形. 例题精讲 【例1】．已知，如图在△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝5，AC＝6，在△ABC内部有一点D，连接DA、DB、DC，则DA+DB+DC的最小值是　 　． 变式训练 【变式1-1】．如图，P是边长为2的等边△ABC内的一点，求PA+PB+PC的最小值． 【变式1-2】．已知：AC＝4，BC＝6，∠ACB＝60°，P为△ABC内一点，求BP+2AP+PC的最小值． 【变式1-3】．如图，正方形ABCD的边长为4，点P是正方形内部一点，求PA+2PB+PC的最小值． 1．已知△ABC中，BC＝a，AB＝c，∠B＝30°，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值． 2．求 的最小值． 3．已知：等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D是△ABC的费马点（∠ADC＝∠BDC＝∠ADB＝120°），求AD+BD+CD的值． 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝6，BC＝4，点P是△ABC内的一点．则PA+PB+PC的最小值是 　 　． 5．法国数学家费马提出：在△ABC内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC的值为费马距离．经研究发现：在锐角△ABC中，费马点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如图，点P为锐角△ABC的费马点，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离为　 　． 6．已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果△ABC是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若AB＝AC＝，BC＝2，P为△ABC的费马点，则PA+PB+PC＝　 　；若AB＝2，BC＝2，AC＝4，P为△ABC的费马点，则PA+PB+PC＝　 　． 7．数学上称“费马点”是位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点．现定义：菱形对角线上一点到该对角线同侧两条边上的两点距离最小的点称为类费马点．例如：菱形ABCD，P是对角线BD上一点，E、F是边BC和CD上的两点，若点P满足PE与PF之和最小，则称点P为类费马点． （1）如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，点P是BD上的类费马点 ①E为BC的中点，F为CD的中点，则PE+PF＝　 　． ②E为BC上一动点，F为CD上一动点，且∠ABC＝60°，则PE+PF＝　 　． （2）如图2，在菱形ABCD中，AB＝4，连接AC，点P是△ABC的费马点，（即PA，PB，PC之和最小），①当∠ABC＝60°时，BP＝　 　． ②当∠ABC＝30°时，你能找到△ABC的费马点P吗？画图做简要说明，并求此时PA+PB+PC的值． 8．【问题情境】 如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BC＝5，则△ABC的外接圆的半径值为 　 　． 【问题解决】 如图2，点P为正方形ABCD内一点，且∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值． 【问题解决】 如图3，正方形ABCD是一个边长为3cm的隔离区域设计图，CE为大门，点E在边BC上，CE＝cm，点P是正方形ABCD内设立的一个活动岗哨，到B、E的张角为120°，即∠BPE＝120°，点A、D为另两个固定岗哨．现需在隔离区域内部设置一个补水供给点Q，使得Q到A、D、P三个岗哨的距离和最小，试求QA+QD+QP的最小值．（保留根号或结果精确到1cm，参考数据≈1.7，10.52＝110.25）． 9．已知△ABC为等边三角形，边长为4，点D、E分别是BC、AC边上一点，连接AD、BE，且AE＝CD． （1）如