模型19 费马点最值模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

模型探究 费马点问题思考： 如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？ ，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值. 费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。 它是这样确定的： 1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点； 2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。 费马点的性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小. 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°. 费马点最小值快速求解： 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换． R秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值 例题精讲 【例1】．已知，在△ABC中，∠ACB＝30° （1）如图1，当AB＝AC＝2，求BC的值； （2）如图2，当AB＝AC，点P是△ABC内一点，且PA＝2，PB＝，PC＝3，求∠APC的度数； （3）如图3，当AC＝4，AB＝（CB＞CA），点P是△ABC内一动点，则PA+PB+PC的最小值为　 　． 变式训练 【变式1-1】如图，是边长为1的等边内的任意一点，求的取值范围. 【变式1-2】．已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermatpoint）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF＝　 　． 【变式1-3】．如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP+BP+CP的最小值为______. 【例2】.如图，P是边长为2的正方形ABCD内一动点，Q为边BC上一动点，连接PA、PD、PQ，则PA+PD+PQ的最小值为________ 变式训练 【变式2-1】．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为（　　） A．3+2 B．4+3 C．2+2 D．10 【变式2-2】．如图，已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为1+，则这个正方形的边长为 　 　． 【变式2-3】．两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示，若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 　 　． 1．如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，正方形的边长为_______． 2．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M，N分别为AB、BC上的动点，且始终保持BM＝CN．连接MN，以MN为斜边在矩形内作等腰Rt△MNQ，若在正方形内还存在一点P，则点P到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为　 　． 3．如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E，F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为　　 公里． 4．如图，P为等边三角形ABC内一点，∠BPC等于150°，PC＝5，PB＝12，求PA的长． 5．将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点B、C落在格点上，点A在BC的垂直平分线上，∠ABC＝30°，点P为平面内一点． （1）∠ACB＝　　 度； （2）如图，将△APC绕点C顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（尺规作图，保留痕迹）； （3）AP+BP+CP的最小值为　 　． 6．如图1，P是锐角△ABC所在平面上一点．如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P就叫做△ABC费马点． （1）当△ABC是边长为4的等边三角形时，费马点P到BC边的距离为 　 　． （2）若点P是△ABC的费马点，∠ABC＝60°，PA＝2，PC＝3，则PB的值为 　 　． （3）如图2，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′，连接BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P． 7．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点． （1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P　 　（填是或不是）该三角形的费马点． （2）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°．求证：△ABP∽△BCP； （3