模型18 奔驰模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

模型介绍 因为像奔驰车标 ，所以叫奔驰模型 . 【结论】如图 ,等边△ABC，PA=3，PB=4，PC=5， 则①∠APB=150º， ②S△ABC＝AB2＝ 关键：旋转可以让线段动起来 各种旋法： 超酷炫又实用：S=a2 例题精讲 【例1】．如图，点D是等边△ABC内部一点，BD＝1，DC＝2，AD＝，则∠ADB＝　　． 变式训练 【变式1-1】．如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝，△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是（　　） A．40° B．45° C．105° D．55° 【变式1-2】．如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．则S△ABP+S△BPC＝　　． 【变式1-3】．如图，点P是正方形ABCD内的一点，且PA＝1，PB＝PD＝，则∠APB的度数为　　． 1．如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（　　） A． B． C． D． 2．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为（　　） A．24+9 B．48+9 C．24+18 D．48+18 3.如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段 BO以点B为旋转中心逆时针旋转 60°得到线段 BO´，有下列结论∶ ①△BO´A 可以由△BOC绕点B 逆时针旋转 60°得到; ②点 O与O´的距离为 4; ③∠AOB=150°; ④ ＝6＋3; ⑤＋ ＝6＋ 其中正确的结论是（ ) A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①②③④⑤ D. ①②③ 4.如图，在菱形 ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC平分∠BAD，点 P是△ABC 内一点，连接 PA，PB，PC.若 PA=6，PB=8，PC=10，则菱形 ABCD的面积等于 . 5．如图，点P是正方形ABCD内一点，若，，PC＝1，则∠BPC＝　　． 6．已知P是等边△ABC内一点，若PA＝3，PB＝5，PC＝4，则△ABC的面积＝　　． 7．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为　　． 8．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有　 　（填序号） ①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120° 9．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB． （1）求点P与点P′之间的距离； （2）求∠APB的度数． 10．下面是一道例题及其解答过程，请补充完整． （1）如图1，在等边三角形ABC内部有一点P，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数． 解：将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形． ∵PP′＝PA＝3，PB＝4，P′B＝PC＝5， ∴P′P2+PB2＝P′B2． ∴△BPP′为　 　三角形． ∴∠APB的度数为　 　． （2）类比延伸 如图2，在正方形ABCD内部有一点P，若∠APD＝135°，试判断线段PA、PB、PD之间的数量关系，并说明理由． 11．【方法呈现】： （1）已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1），设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积； 【实际运用】： （2）如图2，点P是等腰Rt△ABC内一点，AB＝BC，连接PA，PB，PC．若PA＝2，PB＝4，PC＝6，求∠APB的大小； 【拓展延伸】： （3）如图3，点P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则△APC的面积是　 　（直接填答案） 12．（1）如图1，点P是等边△ABC内一点，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数． 分析：要直接求∠APB的度数显然很困难，注意到