模型17 阿氏圆最值问题（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

学计问原引，让学习更答当！ JP。ZXXK。cOM学科网精品频道全力推荐 大招_阿氏圆最值问题 背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PBk(k#1，则 满足条件的所有的点Р的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿 氏圆”． 模型建立：当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示： 易证：△BOP∞△POA，∴品三4=对于圆上任意一点P都有一=k 对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点， 则需OA=7=k □【技巧总结】计算PA+k·PB的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形 中原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利网 学科网原到，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 问题：在圃上找一点P使得PA+kPB的值最小，解决步骤具体如下： ①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP,OB ②计算出这两条线段的长度比 OP k OB ③在OB上取一点C,使得 C=k,即将造△POM-△BOP,则PC=k,PC=k:PB O PB ④则PA+k·PB-PA+PC≥AC,当A、P、C三点共线时可得最小值 例题精讲 【例1】.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4,CA=6,⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP, BP,则AP+上BP的最小值为 2 8 >变式训练 【变式1-1】.如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上的动点，则PD+PC的最小 2 值等于一 D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 2 令学利网 学科网原到，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【变式1-2】.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4,点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以 A为圆心、以4E为半径的圆弧上的动点，则PB+PC的最小值为 E 【变式1-3】.如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心作半径为4的圆交x轴正半轴于点A,点M的坐标 为(6,3)，点N的坐标为(8，O),点P在圆上运动.则PM4PW的最小值是一 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 3 令学利网 学科网原针，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【例2】.如图，在⊙0中，点A、点B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=6,点C在OA上，且OC=24C, 点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则C什2DAM的最小值为 >变式训练 【变式2-1】.⊙O半径为2，AB,DE为两条直线.作DC⊥AB于C,且C为AO中点，P为圆上一个动点. 求2PC+PE的最小值， D B 【变式2-2】.如图，在扇形OCD中，∠COD=90°，OC=3,点A在OD上，AD=1,点B为OC的中点， 点E是弧CD上的动点，则AE+2EB的最小值是 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利网 学科网原到，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【变式2-3】.如图，等边△ABC的边长6，内切圆记为⊙O,P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为 0. 实战演练 1,如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O,P为圆O上一动点，则√2PA+PB的最小值为 D 2,如图，扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=6,C是OA的中点，D是OB上一点，OD=5,P是AB上一 动点，则PC+上PD的最小值为 2 D B 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 令学利网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 3.如图，半圆的半径为1，AB为直径，4C、BD为切线，4C=1,BD=2,P为弧AB上一动点，则2rC 2 +PD的最小值为 D 4.在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=8,OB=10,以O为圆心，4为半径作圆O,交两边于点C,D, P为劣弧CD上一动点，则PA+PB最小值为一 0 5.如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且B队M=2,N为边BC上一动点，连接MN, 点B关于MN对称，对应点为P,连接PA,PC,则PA+2PC的最小值为一 6.如图，矩形ABCD中，AB=2,AD=4,M点是BC的中点，A为圆心，AB为半径的圆交AD于点E.点 P在BE上运动，则PM+上DP的最小值为一 A D 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利网 学科网原针，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 7.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=3,AC=4,D为AC的中点，以A为圆心，AD为