模型13 半角模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

令学利科购 学科网原创，让学司更会易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 大招 半角模型 模型介绍 角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角 模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问趣的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折 且标三角形法 角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角 模型：正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折 目标三角形法 类型一：等腰直角三角形角含半角模型 (1)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC-90°，点D,E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2 +CE2=DE2 D、E D E 图示(1) 作法1：将△ABD旋转90° 作法2：分别翻折△ABD,△ACE (2)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC-90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE=45°， 则：BD2+CE2DE2 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 令学科网 学科网原到，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 D D D 图示(2) 旋转法 翻折法 (3)如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理， D 任意等腰三角形 旋转法 翻折法 类型二：正方形中角含半角模型 (1)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，∠EAF=45°，连接EF,过点A作AG⊥ 于EF于点G,则：EF=BE+DF,AG=AD. 59 F D 图示(1) 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90 (2)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边CB,DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF, 则：EF=DFBE. G 图示(2) 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90 (3)如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD, ∠BAD+∠C180°，点B,F分别在边BC,CD上，∠EAF= ∠BAD,连接EF,则：EF=BE+DF. 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利网 学神网原到，让李司更名品！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 F 图示(3) 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小 【专题说明】 半角模型应用比较广泛：理解半角模型的定义，掌握正方形背景中半角模型的模型的应用，掌握等腰直角 三角形背景中半角模型的应用尤为重要。 【知识总结】 过等腰三角形顶点作两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。 常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一 边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线 段之间的数量关系。 ⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 令学利科购 学科网原到，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 方法提炼 一、半角模型特征 1、共端点的等线段； 2、共顶点的倍半角： 二、半角模型辅助线的作法 1、旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角： 2、旋转的条件：具有公共端点的等线段： 3、旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。 例题精讲 【例1】.如图，正方形ABCD的边长为4，点E,F分别在AB,AD上，若CE=5,且∠ECF=45°，则 CF的长为一 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 4 令学利网 学科网原创，让学司更会易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 >变式训练 【变式1-1】.如图四边形ABCD中，AD∥BC,∠BCD=90°，AB=BC+AD,∠DAC=45°，E为CD上 一点，且∠B4E=45°，若CD=4,则△4BE的面积为() A.12 B.24 50 7 7 c D. 【变式1-2】.如图，△ABC是边长为5的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以点D 为顶点作一个60°的角，使其两边分别交AB、AC于点M、N,则△AMN的周长为一· B 【变式1-3】.如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长 交CD于点E,过点P作PF⊥AP交BC于点F,连接AF、EF,AF交BD于G,现有以下结论： ①AP=PF ②BG2+DP2=GP2: ③PB-PD=V3BF: ④S阳边形PBFG=S△APG. 以上结论正确的有 (填入正确的序号即可). 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 卫学利网 学科网原创，让学司更名品！