第14讲 特殊的四边形（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）-冲刺2023年中考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（上海专用）

第14讲 特殊的四边形（知识精讲+真题练+模拟练+自招练） 【考纲要求】 1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形； 2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题． 3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题 【知识导图】 【考点梳理】 考点一、几种特殊四边形性质、判定 四边形 性 质 判 定 边 角 对角线 矩形 对边平行且相等 四个角是直角 相等且互相平分 ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②四条边都相等的四边形是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形 . 中心、轴对称图形 菱形 四条边相等 对角相等，邻角互补 垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角 ①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形 中心对称图形 正方形 四条边相等 四个角是直角 相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角 1、邻边相等的矩形是正方形 2、对角线垂直的矩形是正方形 3、有一个角是直角的菱形是正方形 4、对角线相等的菱形是正方形 中心、轴对称 等腰梯形 两底平行，两腰相等 同一底上的两个角相等 相等 1、两腰相等的梯形是等腰梯形； 2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； 3、对角线相等的梯形是等腰梯形. 轴对称图形 考点二、中点四边形相关问题 1. 中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． 2. 若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直； 3. 若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等； 4. 若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等． 考点三、重心 1.线段的中点是线段的重心； 三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心；三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍. 平行四边形对角线的交点是平行四边形的重心。 【典型例题】 题型一、特殊的平行四边形的应用 例1.如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作笫三个正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的边长记为a1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，则an=___________． 【变式】长为1，宽为a的矩形纸片（），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为________． ( 第一次操作 第二次操作 ) 例2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，BD=8，点P是AC延长线上的一个动点，过点P作PE⊥AD，垂足为E，作CD延长线的垂线，垂足为E，则|PE﹣PF|=　 　． 题型二、梯形的应用 例3．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F． （1）若点F与B重合，求CE的长； （2）若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长； （3）设CE=x，BF=y，写出y关于x的函数关系式（直接写出结果可）． 【变式】如图为菱形ABCD与正方形EFGH的重迭情形，其中E在CD上，AD与GH相交于I点，且AD∥HE．若∠A=60°，且AB=7，DE=4，HE=5，则梯形HEDI的面积为（　　）.　 　　　　　 Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．10-　　　Ｄ．10+　　 题型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用 例4.正方形ABCD边长为2，点E在对角线AC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°至DF的位置，连接AF，EF． （1）证明：AC⊥AF； （2）设AD2=AE×AC，求证：四边形AEDF是正方形； （3）当E点运动到什么位置时，四边形AEDF的周长有最小值，最小值是多少？ 例5．如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合． （1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF； （2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值． 例6.如图，正方形ABCD的边AD与