同构与导数放缩讲义-2023届高三数学二轮复习

第5讲同构与导数放缩 知识与方法 同构不等式是近些年高考模拟题的热点题型,经常出现在压轴选择填空和导数大题中,特别 是恒成立求参数取值范围,或证明不等式,常规方法可能需要采用隐零点,往往较为繁琐, 而用同构,则会达到四两拨千斤的功效 那么何为同构?什么时候用同构呢?顾名思义,同构,函数结构相同时使用,或者通过变形 使不等式两边的函数结构相同。例如题目给了条件F(x)20能等价变形为 f[gx]≥f[h(x].然后利用f(x)的单调性.如递增.再转化为g(x)≥h(x),这种 方法我们就可以称为同构不等式,简称同构.· 同构第一重境界:双变量问题X、七地位完全等价,只需把同一个变量移到不等式同一边 即可。给大家一些常见的例子,一看便知 (1) )-fl>kx<)÷fx)-fx)<-,台f-<f) x-X2 台y=f(x)-kx为增函数,求导证明即可 (2) -<(x<)台f)-f天>-台fx+ x-X2 Xx2 Xx2 x2 X >fx,)+一台y=f(x)+二为减函数 X 同构第二重境界:指对跨阶时使用,何谓指对跨阶?简单做一个介绍,e、x、x中,指 数e增长最快属于第一阶,x其次,属于第二阶,nx增长最慢,属于第三阶。如果题目中 既出现e,又出现lnx,我们暂且称之为指对跨阶. 指对跨阶常见模型及处理方法, (1)积型: 同右:elne≤blnb-→f(x)=xlnx ae°≤bnb三种同构方式, 同左:ae≤nb)enb-→f(x)=xe 取对:a+lna≤lnb+ln(nb)-→f(x)=x+lnx (2)商型: 同左:c<c a Inb →f)=e ea b 三种同构方式→同右: a Inb ne”nb -一→f)=,x Inx 取对:a-lna<nb-ln(nb)-→f(x)=x-lnx (3)和差型: e°士a>b±nb商种同构方式 同左:e“±a>eb±lnb →f(x)=e±x 同右:e“±lne>b±lnb-→f(x)=x±lnx 同构第三重境界:有些同构式不是很明显的指对跨阶,需要配凑常数或者自变量x,此类题 型较为含蓄,需要同学们多加练习。举例说明 【例】如:(1)aer>lnx因是)arer>xlnx (2)a>logx台xa>xlog。x台xa>(log.xa, o)2xnr≥me≥e(m)er≥e 以上就是同构的三重境界,很多同学看完后可能同构的运用还是不够灵活,要想用好同构, 还要掌握两种方法,指对变换与放缩· 常见的指对变换有x=eh,x=lne,基于此,有如下一些变形,需要大家理解并学握. rer=erthx, =gt-h=ch e e xhx=lnx.e,x+Ix=Inxe'.x-Ix=In 0)e2≥x+1→e≥r→e≥cx→e≥g,c≥1+r+ 4 (2) Inxsx-l→Inexsx→Inxsx ,lnx≤x-1→lnx≤ex-2 nx21-1-xlnx≥x-1, 常见的指对变换与放缩结合有如下几种: xe'=ethr≥r+lnx+l, =en>x-nx+,。之=e2nr-x+ x2e*=e+2mr≥x+2lnx+1,x2e=e*2ar≥e(x+2lnx) 典型例题 【例1】对下列不等式或方程进行同构变形,并写出相应的同构函数, (1)l0g2x-k·2“≥0 2)e2-inF≥0: (3)x21nx-me20 (5)aln(x-1)+2(x-1)2ax+2ei (6)x+alnx+e≥x(x>). (7)e￥-2x-lnx=0; (8)x2e*+Inx=0; 【例2】若2-2罗<3-3y,则() A.In(y-x+1)>0 B.In(y-x+1<0 C.Inx-y>0 D.In x-y<0 【例3】已知不等式a>log。x(a>0,a≠1).对廿x∈(0,+o)恒成立.则a的取值范围 是 【例4】设实数入>0,若对任意的x∈(0,+0),不等式e2-lnx≥0恒成立,则入的取 值范围为 【例5】已知函数fx)=nx,gx)=xe,若存在5∈(0,四).∈R.使得 2 fx)=g(x)=k(k<0)成立, 则 e的最大值为() A.e2 B.e D 、1 【倒可若对任意x>0,恒有ae“+22+h, 则实数a的最小值为一。 【例7】已知函f(x)=e-an(ax-a)+a(a>0),若关于x的不等式f(x)>0恒成立. 则实数a的取值范围为() A.(0,e2] B.(0,e2) c.[1,e2] D.(1,) 【例8】对任意x>0,不等式2ae2x-lnx+lna≥0恒成立,则实数a的最小值为 【例9】已知函数f(x=ae-lnx+lna (1)当a=时,求曲线y=f(x)在点1,f1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积: (2)若f(x)≥1,求a的取值范围 【例】10.已知函