构造函数解不等式讲义-2023届高三数学二轮复习

第1讲 构造函数解不等式 知识与方法 遇到函数与导数不等式的题目,一般将不等式移项构造一个新函数,然后找到其原函数,从 而判断其单调性 类型一直接利用求导的四则运算 法则1:[(x)±g(x)'=∫'(x)±g'(x).(可推广到多个函数) 法则2:[f(x)g(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x) 法则3 f(x) f(x)g(x)-f(x)g(x) g(x) g2(x) 类型二构造可导积函数 若条件是f'(x)g(x)+g'(x)f(x)20,可构造F(x)=f(x)g(x),则F(x)单调递增: 若条件是f'(x)+f(x)20,可构造F(x)=ef(x),则F(x)单调递增: 若条件是xf'(x)+f(x)≥0,可构造F(x)=xf(x),则F(x)单调递增: 若条件是'(x)+n时f(x)≥0,可构造F(x)=xf(x),则F'(x)=x-[xf'(x)+nf(x)],若 x"->0 则F(x)单调递增: 若条件是f"(x)+mf(x)≥0,可构造[e“f(x)]=e“(nf(x)+f"(x): 若条件是f'(x)cosx-f(x)sinx≥0,可构造[f(x)cosx=f"(x)cosx-f(x)sinx≥0 若条件是f'(x)sinx+f(x)cosx≥0,可构造[fx)sinx'=f"'(x)sinx+f(x)cosx≥0· 类型三构造可导商函数 若条件是∫'(x)g(x)-f(x)g'(x)≥0,可构造F(x) 则F'=8-8d≥0. g(x) 说明F0单词递增f国-e20,F-.可-20 F(x=因: 若条件是xf'(x)-mf(x)20,则构造 xf(x)-mf(x) 若条件是f'(x)-mf(x)≥0,则构造 a 若条件是f'(x)cosx+f(x)sinx20,可构造 f(x f'(x)cosx+f八x)sinx cOSX cos2x 若条件是f'(x)sinx-f(x)cosx≥0,可构造 f(x) f(x)sinx-f(x)cosx sinx sin2x 类型四构造函数结合函数奇偶性 有的题目是一个函数和一个代数式组合,往往可以构造成一个奇函数,从而利用函数的单调 性求解, 典型例题 【例1】已知函数f(x)的定义域为实数R.'(x)是其导函数,对任意实数x有 f(x)+xf'(x)>0,则当a>b时,下列不等式成立的是() A.af(b)>bf(a)B.af(a)>bf(b)C.bf(a)>af(b)D.bf(b)>af(a) 【例2】设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时, '(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是() A,(-3,0)U(3,+0) B.(-3,0)(0,3) C,(-0,-3)U(3,+0) D.(-0,-3)U(0,3) 【例3】设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-I)=0,当x>0时, xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是() A.(-0,-1)U(0,1) B.(0,1)U(L,+0) C.(-1,0)U(1,+0) D,(-0,-1)U(-1,0) 【例4定义在0,) 上的函数f(x),导数为f'(x).且f(x)<f'(x)tanx,则下式恒成 立的是() A.5rr B.2)sint c.5r)f母 D. 【例5】已知函数f(x)定义域为(0,+o).且满足f(x)>0,xf'(x)-f(x)<0,则对任 意正数a,b,当a>b时,下列不等式一定成立的是() A.af(b)<bf(a)B.af(a)<af(b)C.af(a)<bf(b) D.bf(b)<af(a) 强化训练 e 1.设函数f9满足2f(x)+2f(x)=￡,则当f(2)=发,x>0时.)() 8 A,有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值 C,厩有极大值又有极小值 D,既无极大值也无极小值 2.已知f(x)的定义域为(0,+0).f'(x)为f(x)的导函数,且满足f(x)<-xf'(x),则不 等式f+1>(F-1fx-l)的解集是() A.(0,4) B.(1,4) C.(L,+0) D.(4,+0) 3.f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,(x2+I)f'(x)+2xyf(x)<0,且f(-1)=0 ,则不等式∫(x)>0的解集是() A.(1,+0) B.(-1,0)U1,+0) C.(-00,-1) D.(-,-1)U(0,1) 4.已知函数f)定义域为0,+o),且满足fx)+对"(x)=n,f@)=, 则下列结 论正确的是() A f(x)有极大值无极小值B.f(x)有极小值无极大值 _c﹒f(x)既有极大值又有极小值D﹒f(x)