中档大题专练(02)（Word练习）-【优化指导】2023高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

中档大题专练(02) 1．已知等差数列{an}的公差d≠0，a3＝7，且a1，a2，a6成等比数列，数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an. (1)求{an}的通项公式； (2)求{bn}的前20项和S20. 解：(1)因为等差数列{an}满足a3＝7，且a1，a2，a6成等比数列， 所以因为d≠0，所以 所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－2. (2)由(1)得bn＋bn＋1＝3n－2， 所以S20＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b19＋b20)＝(3×1－2)＋(3×3－2)＋…＋(3×19－2)＝10×1＋×10×9×6＝280. 2．在①cos (－B)＝＋cos B，②a sin A＋c(sin C－sin A)＝b sin B，③＝tan A＋tan B这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中． 问题：在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，b＝2，______． (1)求角B； (2)求a＋2c的最大值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 解：(1)选择①：由cos (－B)＝＋cos B， 得cos B＋sin B＝＋cos B， 即sin B－cos B＝，所以sin (B－)＝， 因为0＜B＜π，所以－＜B－＜， 故B－＝，所以B＝. 选择②：由正弦定理，a sin A＋c(sin C－sin A)＝b sin B可化为a2＋c2－b2＝ac， 由余弦定理，得cos B＝＝， 因为0＜B＜π，所以B＝， 选择③：由正弦定理，得＝， 又tan A＋tan B＝＋ ＝＝ ＝. 由＝tan A＋tan B，得＝， 因为sin C＞0，cos A＞0，所以tan B＝， 因为0＜B＜π，所以B＝. (2)在△ABC中，由(1)及b＝2， ＝＝＝＝4， 故a＝4sin A，c＝4sin C， 所以a＋2c＝4sin A＋8sin C＝4sin A＋8sin (－A) ＝4sin A＋4cos A＋4sin A＝8sin A＋4cos A ＝4sin (A＋φ)，其中tan φ＝， 因为0＜A＜且φ为锐角，所以存在角A使得A＋φ＝， 所以a＋2c的最大值为4. 3．如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，O′，O分别是上、下底面圆的圆心，EF是底面圆的一条直径，DE＝DF. (1)证明：EF⊥AB； (2)若2AD＝AB，求平面BCF与平面CDE所成锐二面角的余弦值． (1)证明：连接DO，由于DE＝DF，O是EF的中点，所以EF⊥DO， 根据圆柱几何性质可知AD⊥EF， 由于AD∩DO＝D，DO，AD⊂平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以EF⊥AB． (2)解：由(1)知EF⊥AB，EF⊥OO′，根据圆柱的性质可知OO′⊥AB，OO′⊥OF，以O为原点建立如图所示空间直角坐标系， 设2AD＝AB＝6，AD＝3，AB＝2， 则B(－，0，0)，C(－，0，3)，F(0，，0)，D(，0，3)， E(0，－，0)，＝(0，0，3)，＝(，，0)， 设平面BCF的法向量为n1＝(x，y，z)， 则故可设n1＝(1，－1，0)， 同理可求得平面CDE的法向量为n2＝(0，－，1)， 设平面BCF与平面CDE所成锐二面角为θ， 则cos θ＝＝＝. 4．某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X(小时)都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y(百斤)与使用某种液体肥料x(千克)之间对应数据为如图所示的折线图． (1)依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明(精确到0.01)(若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合) (2)蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如表关系： 周光照量X (单位：小时) 30＜X ＜50 50≤X ≤70 X＞70 光照控制 仪最多可 运行台数 3 2 1 若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3 000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1 000元．以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？ 附：相关系数r＝， 参考数据：(xi－)(yi－)＝6， ＝2， ＝， ≈0.55，≈0.95. 解：(1)由已知数据可得 ＝＝5， ＝＝4. 所以相关系数r＝＝＝≈0.95. 因为r＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系． (2)记