压轴大题专练(01)（Word练习）-【优化指导】2023高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

压轴大题专练(01) 1．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，点P(，1)在椭圆E上． (1)求椭圆E的标准方程； (2)设过点F2且倾斜角不为0的直线l与椭圆E的交点为A，B，求△F1AB面积最大时直线l的方程． 解：(1)因为|F1F2|＝2c＝4，可得c＝2， 则F1(－2，0)、F2(2，0)， 由椭圆的定义可得2a＝|PF1|＋|PF2| ＝＋＝2， 得a＝，所以b＝＝， 所以椭圆E的标准方程为＋＝1. (2)由题意，设点A(x1，y1)、B(x2，y2)， 设直线l的方程为x＝my＋2(m≠0)， 联立 消去x可得(m2＋3)y2＋4my－2＝0， Δ＝16m2＋8(m2＋3)＝24(m2＋1)＞0， 由根与系数的关系可得 y1＋y2＝－，y1y2＝－， 所以，S△F1AB＝|F1F2|·|y1－y2| ＝2＝2 ＝， 令t＝＞1， 则S△F1AB＝＝≤＝2， 当且仅当t＝时，即当m＝±1时，等号成立， 此时直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y－2＝0. 2．已知函数f(x)＝ln (x＋1)－ax＋1(a∈R). (1)当a＞0时，设函数f(x)的最大值为h(a)，证明：h(a)≥1； (2)若函数g(x)＝f(x)＋x2有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，求a的取值范围，并证明：g(x1)＋g(x2)＜2. 证明：(1)函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)， 当a＞0时，f′(x)＝－a＝0，得x＝－1， 当－1＜x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x时，f′(x)＜0； 所以f(x)在(－1，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减， 则f(x)的最大值为h(a)＝f(－1)＝a－ln A． 由h′(a)＝1－，当0＜a＜1时h′(a)＜0，当a＞1时h′(a)＞0， 故h(a)在(0, 1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以h(a)min＝h(1)＝1，故h(a)≥1. (2)g(x)＝f(x)＋x2＝ln (x＋1)－ax＋1＋x2， 则g′(x)＝－a＋x＝. 因为g(x)＝f(x)＋x2有两个极值点x1，x2(x1＜x2)， 所以x2＋(1－a)x＋1－a＝0有两个根x1，x2(－1＜x1＜x2)， 则满足解得a＞1， 当－1＜x＜x1时，g′(x)＞0，当x1＜x＜x2时，g′(x)＜0， 当x2＜x时，g′(x)＞0， 所以极大值为g(x1)，极小值为g(x2)， 又g′(0)＝1－a＜0，则－1＜x1＜0＜x2， 所以当x＞0时有g(x)≥g(x2)， 又－x1＞0，所以g(－x1)≥g(x2). 故g(x1)＋g(x2)≤g(x1)＋g(－x1) ＝ln (x1＋1)＋ln (－x1＋1)＋x＋2. 设h(x)＝ln (x＋1)＋ln (－x＋1)＋x2＋2，－1＜x＜0， 则h′(x)＝＋2x＝2x(1－)＝－＞0， 所以h(x)在(－1，0)上单调递增，则h(x)＜h(0)＝2， 所以g(x1)＋g(x2)＜2. 学科网（北京）股份有限公司 $