专题7 最大公约数与最小公倍数问题（春季培优讲义）--五年级下册奥数精讲精练（通用版）

小学五年级数学下册奥数通用版 最大公约数与最小公倍数问题习题及答案 知识点总结： 1,几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个叫 做这几个数的最大公约数。 2,几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫 做这几个数的最小公倍数。 3.求几个数的最大公约数和最小公倍数可以用短除法或分解质因数 法。 4.两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积 【经典例题1】 把一个长75厘米、宽30厘米、高45厘米的长方体木块切成大小 相等的小正方体木块而没有剩余·小正方体木块的棱长最长是多少？ 可切成多少个小正方体木块？ 45厘米 30厘米 70厘米 【思路分析】【思路点拨】要把长方体切成相等的小正方体而没有剩 余，小正方体的棱长必须是长方体长、宽和高的公约数，要使小正方体 的棱长最大，棱长就取长、宽和高的最大公约数。 【本题解答】 小正方体的棱长最大是：(75,30,45)=15（厘米） (75÷15)×(30÷15)×(45÷15)=30(个) 答：小正方体木块的棱长最长是15厘米，可切成30个小正方体木 块。 【扩展训练】 1.美术老师要在一张长12分米、宽84厘米的纸上裁出同样大小 的正方形手工纸若干张，且没有纸剩下，那么每张正方形手工纸的边 长最大是多少厘米？一共能够裁出多少张这样的手工纸？ 2.有三根铁丝，长度分别是80厘米、120厘米和200厘米。现在要 把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？ 一共可以截成多少段？ 3.将长25分米、宽20分米、高15分米的长方体木料锯成完全一样 的尽可能大的立方体，不能有剩余，每个立方体的体积是立方分米， 一共可锯块。 【经典例题2】 用长为4厘米、宽为3厘米、高为2厘米的长方体木块拼成一个实心 正方体，至少需要 个这样的长方体。 A.4 B.24 C.48 D.72 【思路分析】把若干个长方体叠成一个正方体，它的棱长应是长方体 长、宽、高的公倍数，现在要求长方体木块个数最少，它的棱长应是 长方体长、宽、高的最小公倍数，求出正方体的棱长后，再根据正方体 与长方体之间的关系就能求出长方体木块的个数。 【本题解答】 正方体的棱长：[4,3,2]=12（厘米） (12÷4)×(12÷3)×(12÷2)=72(个) 答：至少需要72个这样的长方体，正确答案选D。 【扩展训练】 1、一种长方形地砖，长24厘米，宽16厘米。不得对地砖进行任何 切割，用这种地砖铺一个正方形至少要多少块？ 2、用长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块叠成一个实心正 方体，至少需要多少个这样的长方体木块？ 3、齿轮通过3个锯齿相互咬合传递运动。齿轮A有48个锯齿，齿轮 B有56个。齿轮C有12个。若三个齿轮的锯齿再次回到最初咬合 的位置，C齿轮最少需要转 圈。 A.6 B.7 C.28 D.56 【经典例题3】 某地新建一座大桥，在桥面两侧等距离安装照明灯，要求在A、B.C处 及AC和BC的中点都要有一盏灯，这样至少需要安装多少盏灯？ B -512米 576米 【思路分析】 在A、B、C处及AC和BC的中点都要有一盏灯，也就是把512÷2=256 (米)、576÷2-288（米）平均分成若千段，并且使每段尽可能长，因此每 段的长度就是256和288的最大公约数。 【本题解答】 512÷2=256(米) 576÷2=288(米) 每两盏灯之间的距离最长的米数：(256,288)=32（米） 两侧至少需要安装照明灯： (512÷32+576:32+1)×2=70(盏)答：至少需要安装70盏灯。 【扩展训练】 1，把46块水果糖和38块巧克力分别平均分给一个组的同学，结果 水果糖剩1块，巧克力剩3块，这个组最多有多少个同学? 2、如下图，某公园有两段路AB=175米，BC=125米，在这两段路上安装 路灯，要求A、B、C三点各设一盏路灯，相邻两盏路灯间的距离都相 等，则在这段路上至少要安装多少盏路灯? 3、动物园的饲养员给猴子们运来200粒花生，110根香蕉、42个 苹果，平均发放完毕，还剩20粒花生，2根香蕉，6个苹果，一共 有多少只猴子? 【经典例题4】 叔叔养了400多只兔子。如果每3只兔子关在一个笼子里，最后一个 笼子里有1只；如果每5只兔子关在一个笼子里，最后一个笼子里有3 只；如果每7只兔子关在一个笼子里，最后一个笼子里有5只。李叔 叔一共养了多少只兔子? 【思路分析】 根据题意可知，如果李叔叔再增加2只兔子，则“每3只兔子关在一 个笼子里，每5只兔子关在一个笼子里，每7只兔子关在一个笼子里， 都正好关完”，也就是说，只要把这些兔子再增加2只，就正好是 3,5,7的公倍数，即兔子的总数比3,5,7的公倍数少2， [3,5,7]=105,再根据兔子总数有4