第07讲 平面直角坐标系与一次函数、反比例函数（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）-冲刺2023年中考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（上海专用）

第07讲 平面直角坐标系与一次函数、反比例函数 （知识精讲+真题练+模拟练+自招练） 【考纲要求】 ⒈结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想； ⒉会确定函数自变量的取值范围，即能用三种方法表示函数，又能恰当地选择图象去描述两个变量之间的关系； ⒊理解正比例函数、反比例函数和一次函数的概念，会画他们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决有关的实际问题. 【知识导图】 【考点梳理】 考点一、平面直角坐标系 1.平面直角坐标系 平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来. 2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点 点P(x,y)在第一象限； 点P(x,y)在第二象限； 点P(x,y)在第三象限； 点P(x,y)在第四象限； 点P(x,y)在x轴上，x为任意实数； 点P(x,y)在y轴上，y为任意实数； 点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）. 3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等； 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数. 4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同； 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同. 5.关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征 点P与点p′关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数； 点P与点p′关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数； 点P与点p′关于原点对称横、纵坐标均互为相反数. 6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离 （1）点P(x,y)到x轴的距离等于； （2）点P(x,y)到y轴的距离等于； （3）点P(x,y)到原点的距离等于. 考点二、函数 1. 函数的概念 设在某个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量. 2.自变量的取值范围 对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有意义. 3．表示方法 ⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法. 4．画函数图象 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值； （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点； （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来. 考点三、几种基本函数（定义→图象→性质） 1.正比例函数及其图象性质　 （1）正比例函数：如果y=kx(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的正比例函数． （2）正比例函数y=kx（ k≠0)的图象： 　 过（0，0），（1，K）两点的一条直线． 　　　　　　　　　　 　　　　 （3）正比例函数y=kx（k≠0)的性质 ①当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大； ②当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小 . 2.一次函数及其图象性质　　 （1）一次函数：如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0),那么y叫做x的一次函数． （2）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象 （3）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象的性质 一次函数y＝kx＋b的图象是经过(0，b)点和点的一条直线． 1 当k>0时，y随x的增大而增大； ②当k<0时，y随x的增大而减小． 3.反比例函数及其图象性质 （1）定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 三种形式：(k≠0)或(k≠0)或xy=k(k≠0). （2）反比例函数解析式的特征： ①等号左边是函数，等号右边是一个分式.分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1； ②比例系数； ③自变量的取值为一切非零实数； ④函数的取值是一切非零实数. （3）反比例函数的图象 ①图象的画法：描点法 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）； 描点（由小到大的顺序）； 连线（从左到右光滑的曲线）. ②反比例函数的图象是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交. ③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是和）和中心对称图形（对称中心是坐标原点）. ④反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线 （）上任意点引轴、轴的垂线，所得矩形面积为. （4）反比例函数性质： 反比例函数 k的符号 k>0 k<0 图像 性质