第13讲 相似三角形中的“母子(双垂直)”型-【多题一解&一题多解】冲刺2023年中考数学满分应对方法与策略（全国通用）

第13讲 相似三角形中的“母子(双垂直)”型 【应对方法与策略】 模型展示： 如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 【多题一解】 一、单选题 1．（2021·江苏南通·统考一模）如图，中，，，，点，分别在，上，，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．若点在的平分线上，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2023秋·浙江温州·九年级期末）如图，在等边中，，点是以为圆心，半径为3的圆上一动点，连接，为上一点，，连接，则线段的最大值与最小值之积为（    ） A．27 B．26 C．25 D．24 二、填空题 3．（2021·河北邢台·校考二模）如图1，在中，，，，点为边上一点，则点与点的最短距离为______．如图2，连接，作，使得，交于，则当时，的长为______． 4．（2021·山东济宁·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=8，四边形ECGF为菱形，点G在AD上，点B在EF上，若菱形的一条对角线CF=，则菱形ECGF的另一条对角线EG的长度是_____． 5．（2020·山西·统考中考真题）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为_______． 三、解答题 6．（2021秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考期中）如图，已知矩形的两条对角线相交于点O，过点作分别交、于点、． （1）求证：； （2）连接，若．求证：． 7．（2022秋·安徽合肥·九年级校考期中）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 8．（2020·浙江·九年级期末）如图1，四边形内接于是的直径，．延长交的延长线于点． （1）证明：． （2）当时， ①求的长度． ②如图2，作平分交于点，连结，求的面积． 9．（2021·陕西西安·陕西师大附中校考二模）如图，为的直径，为延长线上一点，与相切与点，，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 10．（2020·河南·校联考二模）如图，在中，对角线，延长至点，使得，连接并延长，交的延长线于点．以为直径作分别交，于点，，连接，． （1）证明：． （2）若的直径为3．填空： ①当______时，四边形为正方形； ②当______时，为等边三角形． 11．（2020·安徽·校联考三模）在中，，平分． （1）如图1，若，，求的长． （2）如图2，过分别作交于，于． ①求证：； ②求的值． 12．（2020·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，以为直径的⊙O交于点，与过点的切线互相垂直，垂足为． （1）求证：平分； （2）若，求的值． 13．（2021·河南商丘·统考二模）如图，在中，的平分线AD交BC于点E，交的外接圆于点D．过点D作的切线DF，连接BD． （1）求证：． （2）若，． ①当时，求线段的长为_____________． ②当四边形OCDB为平行四边形时，的半径等于_____________． 14．（2021·湖北武汉·统考一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点． （1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB； （2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值； （3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________． 15．（2020·福建泉州·统考模拟预测）如图，点A在线段EB上，且EA＝AB，以AB直径作⊙O，过点E作射线EM交⊙O于D、C两点，且．过点B作BF⊥EM，垂足为点F． （1）求证：CD•CB＝2CF•EA； （2）求tan∠CBF的值． 16．（2020·湖北荆门·中考真题）如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求直线的解析式及抛物线顶点坐标； （2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为C，交于点D，求的最大值，并求出此时点P的坐标； （3）如图2，将抛物线向右平移得到抛物线，直线与抛物线交于M，N两点，若点A是线段的中点，求抛物线的解析式． 17．（2021·浙江金华·统考一模）在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点E是AB的中点，点F在边BC上，连接DE，EF． （1）取AD中点G，连接EF，EG．DE与FG交于点H． ①如图1，当点F与点B重合时，求证：△EGH∽△DBH． ②如图2，当∠EDF＝2∠GED时，求线段EF的长． （2）连接AF，如图3，当∠DEF＝∠BAF时，求BF的长． 18．（2020·山东潍坊·校考一模）已知：正方形，等腰直角三角板的